[2016北京集训测试赛17]crash的游戏-[组合数+斯特林数+拉格朗日插值]

Description

Solution

核心思想是把组合数当成一个奇怪的多项式，然后拉格朗日插值。。；哦对了，还要用到第二类斯特林数（就是把若干个球放到若干个盒子）的一个公式：

$x^{n}=\sum _{i=0}^{n}C(n,i)*i!*S(i,x)$

围观大佬博客（qaq公式太难打了）

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+;
const int N=;
ll fac[N],finv[N],inv[N],S[N][N],inv2;
int n,m,k;
ll C(int x,int y){return x<||y<||x-y<?:fac[x]*finv[y]%mod*finv[x-y]%mod;}
ll ksm(ll x,int k){ll re=;while (k){if (k&) re=re*x%mod;k>>=;x=x*x%mod;}return re;}

ll a[N];
void geta(int k)
{
    memset(a,,sizeof(a));
    a[]=;
    for (int i=;i<k;a[]=,i++)
        for (int j=i+;j;j--)
            a[j]=(a[j-]-i*a[j]%mod+mod)%mod;
    for (int i=;i<=k;i++) a[i]=a[i]*finv[k]%mod;
}

ll bin[N],pnm[N];
void pre(int k)
{
    pnm[]=;for (int i=;i<=k;i++) pnm[i]=pnm[i-]*(n+m)%mod;
    bin[]=;for (int i=;i<=k;i++) bin[i]=bin[i-]*(mod-)%mod;
}
ll f[N];
ll ans;
int main()
{
    inv2=ksm(,mod-);
    inv[]=inv[]=fac[]=fac[]=finv[]=finv[]=;

    for (int i=;i<=;i++) fac[i]=fac[i-]*i%mod,inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    for (int i=;i<=;i++) finv[i]=finv[i-]*inv[i]%mod;

    S[][]=;
    for (int i=;i<=;i++) for (int j=;j<=i;j++)
    S[i][j]=(S[i-][j-]+S[i-][j]*j)%mod;

    int T;
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
        ans=;
        pre(k);geta(k);
        ll cnt=ksm(,m);
        for (int i=;i<=k;i++)
        {
            ll s=,Cmj=,m_j=cnt;
            for (int j=;j<=i;j++)
            {
                s+=S[i][j]*fac[j]%mod*Cmj%mod*m_j%mod;
                Cmj=Cmj*(m-j)%mod*inv[j+]%mod;
                m_j=m_j*inv2%mod;
            }
            f[i]=s%mod;
        }
        for (int i=;i<=k;i++)
        {
            ll s=;
            for (int t=;t<=i;t++) s+=C(i,t)*bin[i-t]%mod*pnm[t]%mod*f[i-t]%mod;
            ans+=s%mod*a[i]%mod;
        }
        printf("%lld\n",ans%mod);
    }
}