求组合数的O(n^2)和O(n)解法及模板

概率论中的组合数应该比较熟悉吧，在数论中组合数也具有重大意义，下面介绍组合数的解法：

方法一O(n^2)：

利用公式(n,m)=(n-1,m-1)+(n-1,m)：

模板：

#include<cstdio>
const int N =  + ;
const int MOD = (int)1e9 + ;
int comb[N][N];//comb[n][m]就是C(n,m)
void init(){
    for(int i = ; i < N; i ++){
        comb[i][] = comb[i][i] = ;
        for(int j = ; j < i; j ++){
            comb[i][j] = comb[i-][j] + comb[i-][j-];
            comb[i][j] %= MOD;
        }
    }
}
int main(){
    init();
}

方法二(O(n))：

因为大部分题都有求余，所以我们大可利用逆元的原理（没求余的题目，其实你也可以把MOD自己开的大一点，这样一样可以用逆元做）。利用公式：

我们需要求阶乘和逆元阶乘。

模板：

const int MOD = (int)1e9 + ;
int F[N], Finv[N], inv[N];//F是阶乘，Finv是逆元的阶乘
void init(){
    inv[] = ;
    for(int i = ; i < N; i ++){
        inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD;
    }
    F[] = Finv[] = ;
    for(int i = ; i < N; i ++){
        F[i] = F[i-] * 1ll * i % MOD;
        Finv[i] = Finv[i-] * 1ll * inv[i] % MOD;
    }
}
int comb(int n, int m){//comb(n, m)就是C(n, m)
    if(m <  || m > n) return ;
    return F[n] * 1ll * Finv[n - m] % MOD * Finv[m] % MOD;
}
int main(){
    init();
}