【BZOJ-3672】购票 树分治 + 斜率优化DP

3672: [Noi2014]购票

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Description

 今年夏天，NOI在SZ市迎来了她30周岁的生日。来自全国 n 个城市的OIer们都会从各地出发，到SZ市参加这次盛会。

       全国的城市构成了一棵以SZ市为根的有根树，每个城市与它的父亲用道路连接。为了方便起见，我们将全国的 n 个城市用 1 到 n 的整数编号。其中SZ市的编号为 1。对于除SZ市之外的任意一个城市 v，我们给出了它在这棵树上的父亲城市 f_v  以及到父亲城市道路的长度 s_v。

从城市 v 前往SZ市的方法为：选择城市 v 的一个祖先 a，支付购票的费用，乘坐交通工具到达 a。再选择城市 a 的一个祖先 b，支付费用并到达 b。以此类推，直至到达SZ市。

对于任意一个城市 v，我们会给出一个交通工具的距离限制 l_v。对于城市 v 的祖先 a，只有当它们之间所有道路的总长度不超过 l_v  时，从城市 v 才可以通过一次购票到达城市 a，否则不能通过一次购票到达。对于每个城市 v，我们还会给出两个非负整数 p_v,q_v  作为票价参数。若城市 v 到城市 a 所有道路的总长度为 d，那么从城市 v 到城市 a 购买的票价为 dp_v+q_v。

每个城市的OIer都希望自己到达SZ市时，用于购票的总资金最少。你的任务就是，告诉每个城市的OIer他们所花的最少资金是多少。

Input

第 1 行包含2个非负整数 n,t，分别表示城市的个数和数据类型（其意义将在后面提到）。输入文件的第 2 到 n 行，每行描述一个除SZ之外的城市。其中第 v 行包含 5 个非负整数 f_v,s_v,p_v,q_v,l_v，分别表示城市 v 的父亲城市，它到父亲城市道路的长度，票价的两个参数和距离限制。请注意：输入不包含编号为 1 的SZ市，第 2 行到第 n 行分别描述的是城市 2 到城市 n。

Output

输出包含 n-1 行，每行包含一个整数。其中第 v 行表示从城市 v+1 出发，到达SZ市最少的购票费用。同样请注意：输出不包含编号为 1 的SZ市。

Sample Input

7 3
1 2 20 0 3
1 5 10 100 5
2 4 10 10 10
2 9 1 100 10
3 5 20 100 10
4 4 20 0 10

Sample Output

40
150
70
149
300
150

HINT

对于所有测试数据，保证 0≤p_v≤10⁶，0≤q_v≤10¹²，1≤f_v<v；保证 0<s_v≤l_v≤2×10¹¹，且任意城市到SZ市的总路程长度不超过 2×10¹¹。

输入的 t 表示数据类型，0≤t<4，其中：

当 t=0 或 2 时，对输入的所有城市 v，都有 f_v=v-1，即所有城市构成一个以SZ市为终点的链；

当 t=0 或 1 时，对输入的所有城市 v，都有 l_v=2×10¹¹，即没有移动的距离限制，每个城市都能到达它的所有祖先；

当 t=3 时，数据没有特殊性质。

n=2×10^5

Source

Solution

树上斜率优化.

首先方程很好想..$f[x]=min(f[x],f[y]+(Dist[x]-Dist[y])*p[x]+q[x]) y是x的祖先$

这样也很容易想到斜率优化，主要的问题是，序列上的斜率优化利用的是单调队列，因为每个点只可能被插入删除一次，所以均摊复杂度是$O(1)$的。

但是树上的并不能达到这样...所以考虑如何维护这样的凸壳。

考虑树分治，不过和以往的树分治不同..有根树分治？ 有种类似CDQ分治的思想。

分治一棵以$x$为根的子树，切当前重心为$root$，首先对包含$x$的子树进行分治，使得$x--root$这段的$dp$值都得到更新。

然后考虑对剩下的子树中的点的影响，将剩下子树中的点全部提取出来，按照能到达的距离排序，然后按着这个顺序将$root--x$的点插入并维护凸包，对于下面这些点，在凸包上二分更新答案。

这样就处理完了$x--root$的路径上的$dp$对其余点的影响，然后对其余子树继续点分下去即可。

这样的复杂度是$O(Nlog^{2}N)$的...

xiaoyimi之前有过一种$O(Nlog^{3}N)$的树链剖分的做法...我并不是很会...在某次模拟时比这种方法还要快一些...

Code

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define LL long long
inline LL read()
{
    LL x=0,f=1; char ch=getchar();
    while (ch<'0' || ch>'9') {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
    while (ch>='0' && ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return x*f;
}
#define MAXN 200010
 
 
int N,T;
LL l[MAXN],p[MAXN],q[MAXN];
struct EdgeNode{
    int next,to; LL dis;
}edge[MAXN<<1];
int cnt=1,head[MAXN];
inline void AddEdge(int u,int v,LL w) {cnt++; edge[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt; edge[cnt].to=v; edge[cnt].dis=w;}
inline void InsertEdge(int u,int v,LL w) {AddEdge(u,v,w); AddEdge(v,u,w);}
 
LL Dist[MAXN],dp[MAXN];
int fa[MAXN];
inline void DFS(int now,int last)
{
    for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)
        if (edge[i].to!=last) {
            Dist[edge[i].to]=Dist[now]+edge[i].dis;
            fa[edge[i].to]=now;
            DFS(edge[i].to,now);
        }
}
 
int size[MAXN],mx[MAXN],root,Sz,visit[MAXN];
inline void Getroot(int now,int last)
{
    size[now]=1,mx[now]=0;
    for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)
        if (edge[i].to!=last && !visit[edge[i].to]) {
            Getroot(edge[i].to,now);
            size[now]+=size[edge[i].to];
            mx[now]=max(mx[now],size[edge[i].to]);
        }
    mx[now]=max(mx[now],Sz-size[now]);
    if (mx[now]<mx[root]) root=now;
}
 
int o[MAXN],tot;
inline bool cmp(int x,int y) {return Dist[x]-l[x]>Dist[y]-l[y];}
inline void Dfs(int now,int last)
{
    o[++tot]=now;
    for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)
        if (edge[i].to!=last && !visit[edge[i].to])
            Dfs(edge[i].to,now);
}
 
inline double slope(int x,int y) {return (double)(dp[x]-dp[y])/(double)(Dist[x]-Dist[y]);}
 
int stack[MAXN],top;
double k[MAXN];
inline void Insert(int x)
{
    while (top>1 && slope(x,stack[top])>slope(stack[top],stack[top-1])) top--;
    stack[++top]=x; k[top]=-slope(x,stack[top-1]);
}
 
inline void Divide(int x)
{
     
//  printf("Divide  %d  \n",x);
     
    if (Sz<=1) return;
    root=0; Getroot(x,0); int now=root;
     
    for (int i=head[fa[now]]; i; i=edge[i].next)
        if (edge[i].to==now && !visit[edge[i].to]) {
            visit[now]=1;
            Sz=size[x]-size[now];
            Divide(x);
            break;
        }
     
    for (int i=fa[now]; i!=fa[x]; i=fa[i])
        if (Dist[now]-Dist[i]<=l[now])
            dp[now]=min(dp[now],dp[i]+(Dist[now]-Dist[i])*p[now]+q[now]);
     
    tot=0;
     
    for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)
        if (edge[i].to!=fa[now] && !visit[edge[i].to])
            Dfs(edge[i].to,now);
     
    sort(o+1,o+tot+1,cmp);
     
    top=0;
     
    for (int i=1,j=now; i<=tot; i++) {
        for ( ; j!=fa[x] && Dist[j]>=Dist[o[i]]-l[o[i]]; j=fa[j]) Insert(j);
        if (top==1) {
            if (Dist[o[i]]-Dist[stack[top]]<=l[o[i]])
                dp[o[i]]=min(dp[o[i]],dp[stack[top]]+(Dist[o[i]]-Dist[stack[top]])*p[o[i]]+q[o[i]]);
        } else {
            int ot=min(top,upper_bound(k+2,k+top+1,-p[o[i]])-k-1);
            if (Dist[o[i]]-Dist[stack[ot]]<=l[o[i]])
                dp[o[i]]=min(dp[o[i]],dp[stack[ot]]+(Dist[o[i]]-Dist[stack[ot]])*p[o[i]]+q[o[i]]);
        }
    }
     
    for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)
        if (edge[i].to!=fa[now] && !visit[edge[i].to]) {
            visit[edge[i].to]=1;
            Sz=size[edge[i].to];
            Divide(edge[i].to);
        }
     
}
 
 
 
int main()
{
    N=read(),T=read();
    for (int i=2; i<=N; i++) {
        int a=read(),b=read(); p[i]=read(),q[i]=read(),l[i]=read();
        InsertEdge(i,a,b);
    }
    DFS(1,0);
     
    for (int i=2; i<=N; i++) dp[i]=(1LL<<60);
    Sz=mx[root=0]=N;
    Divide(1);
     
    for (int i=2; i<=N; i++) printf("%lld\n",dp[i]);
     
    return 0;
}