题解 【BZOJ4700】适者

题面

解析

看了好多dalao们的题解，然而还是不明白．．．

于是在想了半天后，决定自己写一篇题解。

• step 1

首先,分析题意，

应该还是比较容易想到，

要一直攻击一个兵器，

直到破坏它为止。

因为迟早要把兵器都破坏完，但如果不先破坏一个的话，他就会一直攻击。

那么，就会有一个破坏兵器的先后顺序。

并且，注意到血量其实只是为了转化成攻击的次数，

因此可以用\(d_i\)表示\(i\)被攻击的次数，

另外，约定\(a_i\)为\(i\)的攻击力，

那么题目就分析完毕了！似乎说了一通废话

• step 2

先考虑没有秒杀的情况，

那么，伤害最小，其实也就是\(\sum_{i=1}^{n}\) \(a_i\) \(*\) (\(\sum_{j=1}^{i}\)-\(1\)) 最小，(注意，由于最后一次攻击时兵器已经被破坏了（题目描述有问题），因此要减\(1\))

而对于两个相邻兵器\(i\),\(j\)，

如果\(i\)排在\(j\)前面会更优，

并设\(X\) \(=\) \(\sum_{k=1}^{i}d_k\)，

则有不等式

\(a_i\) \(*\) (\(X\)-\(1\))+$a_j $ \(*\) (\(X\)\(+\)\(d_i\) - \(1\))\(<\)\(a_j\) \(*\) (\(X\)-\(1\))+$a_i $ \(*\) (\(X\)\(+\)\(d_j\) - \(1\))

那么，可以解得\(d_i\)\(*\)\(a_j\)\(<\)\(d_j\)\(*\)\(a_i\)，(自己解一下吧)

因此，将兵器按此规律排序，就是没有秒杀的最优解了似乎又是废话

但要计算出这个没有秒杀的最优解（后面要用）。

• step 3

继续，在上一步的情况下考虑秒杀掉一个兵器，

设\(v_i\)为删除\(i\)后能减小的伤害，

那么对于排在\(i\)前面的兵器们，

在攻击他们的时候，\(i\)都会对基地造成伤害，

那么对于这一部分，减少的伤害就为(\(\sum_{j=1}^{i}\)\(d_j\)-\(1\))\(*\)\(a_i\)。

而对于排在\(i\)后面的所有兵器，

在攻击\(i\)时，

他们也在对基地造成伤害。

所以对于这一部分，减少的伤害为(\(\sum_{j=i+1}^{n}\)\(a_j\))\(*\)\(d_i\)。

综上，就可以得出\(v_i\)\(=\)(\(\sum_{j=1}^{i}\)\(d_j\)-\(1\))\(*\)\(a_i\)\(+\)(\(\sum_{j=i+1}^{n}\)\(a_j\))\(*\)\(d_i\)。

那么继续考虑秒杀两个兵器\(i\)，\(j\)，且\(i\)在\(j\)后面，

减少的伤害就是\(v_i\)\(+\)\(v_j\)\(-\)\(a_i\)\(*\)\(d_j\)(因为这一部分重复加了一次，所以减掉)。

然后，只要求出使\(v_i\)\(+\)\(v_j\)\(-\)\(a_i\)\(*\)\(d_j\)最大的\(i\),\(j\)就行了。

• step 4

那么怎么求呢？

对于每个\(i\)，

我们计算当它与顺序中前面的某个兵器一起被秒掉时，

能减少的伤害的最大值，

再算出\(1\)~\(n\)中这个式子最大的值就行了。

那么，我们要算出前面的兵器对它的影响，和它对后面的兵器的影响。

所以\(CDQ\)分治就成了解决问题的主要算法。

但还是无法解决问题啊！！！

到底要怎么算啊？

别着急，看我狂推公式【滑稽】。

首先我们设对于兵器\(i\)，我们已经找到了一个\(j\)和它一起秒杀(重复一遍，\(j\)在\(i\)前面)，

但是，却存在一个\(k\)能使答案更优，即：

\(v_i\)\(+\)\(v_k\)\(-\)\(a_i\)\(*\)\(d_k\)\(>=\)\(v_i\)\(+\)\(v_j\)\(-\)\(a_i\)\(*\)\(d_j\)

那么，约掉\(v_i\)，再移下项，就变成了：

(\(d_k\)-\(d_j\))\(*\)\(a_i\)\(<=\)\(v_k\)-\(v_j\)，

然后分类讨论：

1. \(d_k\)\(>\)\(d_j\)时，\(a_i\)\(<=\)\(\frac{v_k-v_j}{d_k-d_j}\)，
2. \(d_k\)\(=\)\(d_j\)时，\(v_k\)\(>=\)\(v_j\)，
3. \(d_k\)\(<\)\(d_j\)时，\(a_i\)\(>=\)\(\frac{v_j-v_k}{d_j-d_k}\)，

因此，我们只需要找到一个\(j\)，使得找不到\(k\)满足上面的式子，

那么这个\(j\)就是最优解了。

即：

设\(y\)是\(i\)的最优解 ，

那么对于任意满足\(d_x\)\(<\)\(d_y\)\(<\)\(d_z\)(等于时要特判)的\(x\),\(z\)，

都有\(\frac{v_y-v_x}{d_y-d_x}\)\(>\)\(a_i\)\(>\)\(\frac{v_y-v_z}{d_y-d_z}\)，

因此，对于\(l\)~\(mid\)，我们先将\(d\)按升序排列，

再用单调队列维护\(\frac{v_y-v_x}{d_y-d_x}\)的降序排列(蒟蒻的单调队列讲得似乎有点不清楚自己理解下哈)

同时，对于\(mid\)+\(1\)~\(r\)为了节省时间，将\(a\)按降序排列(所以多开几个数组)，

每次在单调队列中找出第一个小于\(a_i\)的\(\frac{v_y-v_x}{d_y-d_x}\)，

再用\(y\)更新\(i\)的答案就行了。

对于\(d\)和\(a\)的排序，归并时排一下就可以解决。

具体实现方式看代码吧：

#include<bits/stdc++.h>
#define db double
#define ll long long
using namespace std;

inline int read(){
	ll sum=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch>'9' || ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0' && ch<='9'){sum=sum*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return f*sum;
}

struct node{
	int a/*攻击*/,d/*被打次数*/;
	ll v/*被秒掉后下降的伤害*/;
}c[500001]/*敌方*/,q1[500001]/*按d升序排列*/,q2[500001]/*按a降序排列*/;
node qq[500001];//排序时临时存一下
int n,atk;
ll ans=0,ansn=0;
ll sa[500001]/*被打次数的前缀和*/,sb[500001]/*攻击的后缀和*/;
int q[500001];

bool cmp(node x,node y){
	return (ll)x.d*y.a<(ll)y.d*x.a;
}

db cmp1(int x,int y){
	if(q1[x].d==q1[y].d){
		if(q1[y].v<=q1[x].v) return 0;
		return 1e18;
	}
	return (db)((q1[y].v-q1[x].v)/(q1[y].d-q1[x].d));
}

void CDQ(int l,int r){
	if(l==r) return ;
	int mid=(l+r)>>1;
	CDQ(l,mid);CDQ(mid+1,r);
	int le=1,ri=0;
	for(int i=l;i<=mid;i++){
		while(le<ri&&cmp1(q[ri-1],q[ri])<cmp1(q[ri],i)) ri--;
		q[++ri]=i;
	}
	for(int i=mid+1;i<=r;i++){
		while(le<ri&&cmp1(q[le],q[le+1])>=q2[i].a) le++;
		ans=max(ans,(ll)(q2[i].v+q1[q[le]].v-q2[i].a*q1[q[le]].d));
	}
//--------------下面是排序
	int pi=l,qi=mid+1,tot=l;
	while(pi<=mid&&qi<=r){
		if(q1[pi].d<q1[qi].d) qq[tot++]=q1[pi++];
		else qq[tot++]=q1[qi++];
	}
	while(pi<=mid) qq[tot++]=q1[pi++];
	while(qi<=r) qq[tot++]=q1[qi++];
	for(int i=l;i<=r;i++) q1[i]=qq[i];
	pi=l,qi=mid+1,tot=l;
	while(pi<=mid&&qi<=r){
		if(q2[pi].a>q2[qi].a) qq[tot++]=q2[pi++];
		else qq[tot++]=q2[qi++];
	}
	while(pi<=mid) qq[tot++]=q2[pi++];
	while(qi<=r) qq[tot++]=q2[qi++];
	for(int i=l;i<=r;i++) q2[i]=qq[i];
}

int main(){
	freopen("fight.in","r",stdin);
	freopen("fight.out","w",stdout);
	n=read();atk=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		c[i].a=read();c[i].d=read();
		c[i].d=(c[i].d-1)/atk+1;//转换为攻击的次数
	}
	sort(c+1,c+n+1,cmp);//无秒杀时的最优攻击顺序
	for(int i=1;i<=n;i++) sa[i]=sa[i-1]+c[i].d;//d的前缀和
	for(int i=n;i>=1;i--) sb[i]=sb[i+1]+c[i].a;//a的后缀和
	for(int i=1;i<=n;i++) ansn+=c[i].a*(sa[i]-1);//没有秒杀时的总伤害
	for(int i=1;i<=n;i++){
		c[i].v=(sa[i]-1)*c[i].a+sb[i+1]*c[i].d;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) q1[i]=c[i],q2[i]=c[i];
	CDQ(1,n);
	printf("%lld\n",ansn-ans);
	return 0;
}