Codeforces 1276C/1277F/1259F Beautiful Rectangle (构造)

题目链接

http://codeforces.com/contest/1276/problem/C

题解

嗯，比赛结束前3min想到做法然后rush不出来了……比赛结束后又写了15min才过……

以下是我的做法：

设最优解的行数和列数分别是\(R\)和\(C\), 不妨设\(R\le C\). 那么显然对于每个数我们只能选不超过\(R\)个。

考虑将所有数按出现次数从大到小排序，枚举\(R\), 求出可用的数的个数，设为\(cnt\), 那么显然\(C\le \frac{cnt}{R}\).

我们可以通过构造的方式证明，\(C\)可以取到\(\lfloor\frac{cnt}{R}\rfloor\).

下面为了方便默认\(cnt\)已经去掉了\(\mod R\)的余数。

把所有数按出现次数从大到小的顺序依次连成一个序列（一个数出现了多少次就复制多少个）。那么对于任意\(0\le x\lt R,0\le y\lt C\), 我们将序列的第\((xC+y)\)个数放到矩阵的第\(y\)行第\((x+y)\mod C\)列, 其中序列和矩阵的坐标均从\(0\)开始。这样我们可以证明一定满足条件。

举例解释一下: 假设有\(12\)个数排成\(3\times 4\)的矩阵，那么矩阵中每个数在原序列中的下标为:

0 3 6 9
10 1 4 7
8 11 2 5

正确性证明: 对于同一种数，显然它在序列中的位置满足要么所有的\(x\)都相同，要么是\(x\)的一个后缀和\((x+1)\)的一段前缀拼起来，且长度不超过\(R\).

如果是前者，正确性显然。如果是后者，唯一可能影响正确性的情况就是\(x\)后缀部分的某个数和\(y\)前缀部分的某个数放到了同一列上。

显然这种情况只有出现次数等于\(R\)时才会出现（因为每次是整体右移一列），而因为我们是按出现次数从大到小排序构造排列，所以出现次数为\(R\)的都被放到了序列最前面，此时因为前面已经放了的个数都是\(R\)的倍数，所以这一个一定从第\(0\)行开始放，属于第一种情况。因此第二种情况不会出现此问题，证毕。

故枚举每个\(R\), 求出对应的\(C\), 取最大值，再对取到最大值的\(R\)执行上述构造算法即可。

时间复杂度\(O(n\log n)\), 瓶颈在于离散化后统计每个数出现多少次。

代码

由于是很不冷静地rush出来的所以写得比较乱……

#include<bits/stdc++.h>
#define llong long long
#define pii pair<int,int>
#define mkpr make_pair
using namespace std;

inline int read()
{
	int w=1,s=0;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)) {s=s*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return w*s;
}

const int N = 1e6;
pii num[N+3];
int cans[N+3];
int fans[N+3];
vector<int> disc;
int a[N+3];
int n,wei;

int gcd(int x,int y) {return y==0?x:gcd(y,x%y);}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&a[i]),disc.push_back(a[i]);
	sort(disc.begin(),disc.end()); disc.erase(unique(disc.begin(),disc.end()),disc.end());
	for(int i=1; i<=n; i++) a[i] = lower_bound(disc.begin(),disc.end(),a[i])-disc.begin()+1;
	for(int i=1; i<=n; i++) num[i].second = i;
	for(int i=1; i<=n; i++) num[a[i]].first++;
	sort(num+1,num+n+1);
	int l = 1,r = 0,cnt = 0,ans = 0,mxr = 1;
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		while(l<=n && num[l].first<i) {l++;}
		cnt += n-l+1;
		if(cnt/i<i) break;
		int cur = cnt/i*i;
		if(cur>ans) {ans = cur; mxr = i;}
	}
	int mxc = ans/mxr;
	printf("%d\n%d %d\n",ans,mxr,mxc);
	l = 1; while(l<=n && num[l].first<1) {l++;}
	int x = 0,y = 0; wei = 0;
	for(int i=n; i>=l; i--)
	{
		int cnt = min(num[i].first,mxr);
		for(int j=1; j<=cnt&&wei<=ans; j++,wei++)
		{
			cans[x*mxc+(x+y)%mxc] = disc[num[i].second-1]; x++; if(x==mxr) {y++,x=0;}
		}
	}
	for(int i=0; i<ans; i++)
	{
		printf("%d ",cans[i]);
		if((i+1)%mxc==0) puts("");
	}
	return 0;
}