CF809E 【Surprise me!】

我们要求的柿子是张这样子的：

\[\frac{1}{n * (n - 1)} * \sum_{i = 1}^n\sum_{j = 1}^{n}\phi(a_i*a_j)*dis(i, j)\]

其中\(a_i\)为一个排列，\(dis(i, j)\)表示在树上的距离

这种题的套路一般是先拆柿子，但是这道题的式子……

我们要从一个性质下手：
\[\phi(a * b) = \frac{\phi(a) * \phi(b) * gcd(a, b)}{\phi(gcd(a, b))}\]

代入原式得：

\[\frac{1}{n * (n - 1)} * \sum_{i = 1}^n\sum_{j = 1}^{n}\frac{\phi(a_i) * \phi(a_j) * gcd(a_i, a_j)}{\phi(gcd(a_i, a_j))}*dis(i, j)\]

先忽略前面的数，只看后面的\(\sum\)，枚举\(gcd(a_i, a_j)\)，得到

\[\sum_{k = 1}^n\frac{k}{\phi(k)}\sum_{i = 1}^n\sum_{j = 1}^{n}\phi(a_i) * \phi(a_j)*dis(i, j)*[gcd(a_i, a_j) == k]\]

然后反演一波，得到：

\[\sum_{k = 1}^n\frac{k}{\phi(k)}\sum_{i = 1}^n\sum_{j = 1}^{n}\phi(a_i) * \phi(a_j)*dis(i, j)*\sum_{(x * k|a[i]) \& (x * k | a[j])}\mu(x)\]

枚举\(k * x\)

\[\sum_{T = 1}^n\sum_{k|T}\frac{k}{\phi(k)}\sum_{i = 1}^n\sum_{j = 1}^{n}\phi(a_i) * \phi(a_j)*dis(i, j)*\sum_{(T|a[i]) \& (T | a[j])}\mu(\frac{T}{k})\]

交换顺序得：
\[\sum_{T = 1}^n\sum_{k|T}\frac{k}{\phi(k)} * \mu(\frac{T}{k})\sum_{a[i]\ |\ T}\sum_{a[j]\ |\ T}\phi(a_i) * \phi(a_j)*dis(i, j)\]

我们考虑枚举T，对于后面的柿子，我们可以单独拎出来，对所有\(a[i] | T\)用树形DP求出后面柿子的答案，前面的柿子可以提前与处理出来

由于虚树的总点数是\((nlogn)\)个（并不会证明），所以复杂度正确，但由于虚树上的DP和普通DP有一定差异，所以我们还需要对后面的柿子继续化简

\[\sum_{a[i]\ |\ T}\sum_{a[j]\ |\ T}\phi(a_i) * \phi(a_j)*dis(i, j)\]

拆开\(dis(i, j)\)得：

\[\sum_{a[i]\ |\ T}\sum_{a[j]\ |\ T}\phi(a_i) * \phi(a_j)*(dep[i] + dep[j] - 2 * dep[lca(i, j)])\]

令\(val[i] = \phi(a_i)\)，把所有\(a[i] | T\)拎出来，假设有x个

\[\sum_{i= 1}^{x}\sum_{j = 1}^xval[i] * val[j]*(dep[i] + dep[j] - 2 * dep[lca(i, j)])\]

\[\sum_{i= 1}^{x}\sum_{j = 1}^xval[i] * val[j]*dep[i] + \sum_{i= 1}^{x}\sum_{j = 1}^xval[i] * val[j] * dep[j] -2 * \sum_{i= 1}^{x}\sum_{j = 1}^xval[i] * val[j] * dep[lca(i, j)])\]
\[2 * \sum_{i= 1}^{x}val[i] *dep[i] \sum_{j = 1}^xval[j] -2 * \sum_{i= 1}^{x}\sum_{j = 1}^xval[i] * val[j] * dep[lca(i, j)])\]

前面的柿子可以与处理出来，后面的柿子只需要我们在虚树上枚举lca，求出\(\sum_{i= 1}^{x}\sum_{j = 1}^xval[i] * val[j]*[lca(i, j) == lca]\)

这个值其实不难求，记录\(f(x)= \sum_{i = 1}^xval[i]\)即可