P4213【模板】杜教筛（Sum）

思路：杜教筛

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错因：\(\varphi(i)\)的前缀和用\(int\)存的

题解：

对于一类筛积性函数前缀和的问题，杜教筛可以以低于线性的时间复杂度来解决问题。

先要构造\(h=f*g\)，并且\(h\)的前缀和易求，\(g\)的区间和易求。

具体地：

\[\sum_{i=1}^{n}h(i)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}g(d)\cdot f(\frac{i}{d})$$ $$\sum_{i=1}^{n}h(i)=\sum_{d=1}^{n}g(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}f({i})
\]

设\(S(n)\)表示\(\sum_{i=1}^{n}f(i)\)

\[\sum_{i=1}^{n}h(i)=\sum_{d=1}^{n}g(d)\cdot S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)
\]

\[g(1)\cdot S(n)=\sum_{i=1}^{n}h(i)-\sum_{d=2}^{n}g(d)\cdot S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)
\]

当我们对后面的式子进行整除分块时，求\(S(n)\)的复杂度为\(O(n^{\frac{2}{3}})\)

所以主要就是如何构造\(h\)和\(g\)

好吧直接说了：

\(\epsilon=\mu\cdot I\)

\(id=\varphi\cdot I\)



对于\(f(n)=\varphi(n)\cdot n^k=\varphi(n^{k+1})\)的一类方法：

\(id^{k+1}=f\cdot id^k\)

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<unordered_map>
#include<cmath>
#define ll long long
#define R register int
using namespace std;
namespace Luitaryi {
template<class I> inline I g(I& x) { x=0; register I f=1;
  register char ch; while(!isdigit(ch=getchar())) f=ch=='-'?-1:f;
  do x=x*10+(ch^48); while(isdigit(ch=getchar())); return x*=f;
} const int N=5000000,Inf=2147483647;
int T,n,cnt,p[N/4],mu[N+10];
ll phi[N+10];
bool v[N+10];
inline void PRE() { phi[1]=mu[1]=1;
  for(R i=2;i<=N;++i) {
    if(!v[i]) p[++cnt]=i,phi[i]=i-1,mu[i]=-1;
    for(R j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=N;++j) {
      v[i*p[j]]=true;
      if(i%p[j]==0) {
        mu[i*p[j]]=0;
        phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j]; break;
      } mu[i*p[j]]=-mu[i];
      phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
    }
  }
  for(R i=1;i<=N;++i) mu[i]+=mu[i-1];
  for(R i=1;i<=N;++i) phi[i]+=phi[i-1];
}
unordered_map<int,int> memmu;
unordered_map<int,ll> memphi;
inline ll s_phi(int n) {
  if(n<=N) return phi[n];
  if(memphi.count(n)) return memphi[n];
  register ll ans=0;
  for(R l=2,r;r<Inf&&l<=n;l=r+1) {
    r=n/(n/l),ans+=(r-l+1)*s_phi(n/l);
  } return memphi[n]=1llu*n*(n+1ll)/2ll-ans;
}
inline int s_mu(int n) {
  if(n<=N) return mu[n];
  if(memmu.count(n)) return memmu[n];
  register ll ans=0;
  for(R l=2,r;r<Inf&&l<=n;l=r+1) {
    r=n/(n/l),ans+=(r-l+1)*s_mu(n/l);
  } return memmu[n]=1ll-ans;
}
inline void main() {
  PRE(); g(T); while(T--) {
    g(n); printf("%lld %d\n",s_phi(n),s_mu(n));
  }
}
} signed main() {Luitaryi::main(); return 0;}

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2019.08.23

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