Note -「Maths」Euler 筛筛积性函数

Part. 1 Preface

这个东西是我在做 JZPTAB 的时候 LYC 给我讲的。

然后发现这是个通法，就写一写。

本文除了例题所有代码均未经过编译，仅作为参考。

Part. 2 Untitled（怎么取标题呀）（哦 正文）

Part. 2-1 Worse ver.

对于一个积性函数 \(f(n)\)，如果我们已知 \(f(1),f(p),f(p^{k})\) （\(p\) 是一个素数）并且可以在 \(O(\log_{2}(n))\) 的时间内算出来的话，我们就可以在 \(O(n\log_{2}(n))\) 的时间内利用 Euler 筛筛出 \(f(1\cdots n)\) 的值。

举个例子，假设

\[f(n)=\sum_{d|n}d\times\varphi(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)
\]

由于 \(\text{id}\) 卷 \(\varphi\) 卷不出个什么现成的函数，所以我们得考虑自己把它筛出来。

带个 \(p\) 进去可知

\[\begin{cases}
f(1)=1 \\
\displaystyle
f(p)=2\times p-1 \\
\displaystyle
f(p^{k})=(k+1)\times p^{k}-k\times p^{k-1}
\end{cases}
\]

以下内容请参考 Euler 筛代码来看：

void sieve ( const int x ) {
	tag[1] = 1, f[1] = /* DO SOMETHING 1 */;
	for ( int i = 2; i <= x; ++ i ) {
		if ( ! tag[i] ) {
			pSet[++ psc] = i;
			f[i] = /* DO SOMETHING 2 */;
		}
		for ( int j = 1; j <= psc && pSet[j] * i <= x; ++ j ) {
			tag[pSet[j] * i] = 1;
			if ( ! ( i % pSet[j] ) ) {
				f[pSet[j] * i] = /* DO SOMETHING 3 */;
				break;
			}
			else	f[pSet[j] * i] = /* DO SOMETHING */;
		}
	}
}

函数 \(\text{sieve}\) 就是 Euler 筛的过程。我在代码中留了四个空，分别来看我们需要做什么。

• 第一个空很显然，把 \(f(1)\) 赋给 f[1] 即可。

• 第二个空也很显，把 \(f(p)\) 付给 f[i]。

• 我们重点来看第三个空。

首先因为此时的 \(i,\text{pSet}_{j}\) 不互质，所以不能直接照完全积性函数筛。

首先，我们需要把 \(i\times\text{pSet}_{j}\) 中 \(\text{pSet}_{j}\) 因子全部除掉，除完后的结果记为 \(\text{tmp}\)，\(\text{pSet}_{j}\) 因子数量记为 \(\text{power}\)，即 \(i\times\text{pSet}_{j}=\text{pSet}_{j}^{\text{power}}\times c\)。

就是类似下面代码做的事情

int tmp = i / pSet[j], power = 2;
while ( ! ( i % pSet[j] ) )	i /= pSet[j], ++ power;

然后对 \(\text{tmp}\) 进行分类讨论：

• • \(\text{tmp}=1\)：此时 \(i\times\text{pSet}_{j}\) 是 \(\text{pSet}_{j}\) 的 \(\text{power}\) 次方，把 \(f(p^{k})\) 赋给 f[pSet[j] * i] 即可。
• • \(\text{tmp}>1\)：此时 \(\text{tmp}\) 与 \(\frac{i\times\text{pSet}_{j}}{\text{tmp}}\) 互质，于是照积性函数 f[pSet[j] * i] = f[pSet[j] * i / tmp] * f[tmp]。

于是第三个空做完了。

• 第四个空中 \(\text{pSet}_{j}\) 与 \(i\) 互质，于是照积性函数 f[pSet[j] * i] = f[pSet[j]] * f[i]。

于是我们得到了完整代码

void sieve ( const int x ) {
	tag[1] = 1, f[1] = 1;
	for ( int i = 2; i <= x; ++ i ) {
		if ( ! tag[i] ) {
			pSet[++ psc] = i;
			f[i] = 2 * i - 1;
		}
		for ( int j = 1; j <= psc && pSet[j] * i <= x; ++ j ) {
			tag[pSet[j] * i] = 1;
			if ( ! ( i % pSet[j] ) ) {
				int tmp = i / pSet[j], power = 2;
				while ( ! ( i % pSet[j] ) )	i /= pSet[j], ++ power;
				if ( tmp == 1 )	f[pSet[j] * i] = ( power + 1 ) * cqpow ( pSet[j], power ) - power * cqpow ( pSet[j], power - 1 );
				else	f[pSet[j] * i] = f[pSet[j] * i / tmp] * f[tmp];
				break;
			}
			else	f[pSet[j] * i] = f[pSet[j]] * f[i];
		}
	}
}

Part. 2-2 Better ver.

上述的方法的缺点显而易见：复杂度多出来个 \(\log_{2}\)。

更好的方法是记录最小质因子，具体见 ljs 博客 Link。

Part. 3 Example

LOCAL 64388 - GCD SUM

求

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\textrm{gcd}(i,j)
\]

共有 \(T\) 组询问

\(\text{task_id}\)	测试点数	\(n,m\leq\)	\(T\leq\)	特殊性质
\(1\)	1	\(10\)	\(10^3\)	无
\(2\)	2	\(10^3\)	\(10\)	无
\(3\)	3	\(10^3\)	\(10^4\)	无
\(4\)	4	\(10^6\)	\(10\)	\(n = m\)
\(5\)	5	\(10^6\)	\(10^4\)	\(n = m\)
\(6\)	2	\(10^6\)	\(10^5\)	\(n = m\)
\(7\)	3	\(10^7\)	\(10^6\)	\(n = m\)
\(8\)	2	\(10^6\)	\(10\)	无
\(9\)	3	\(10^6\)	\(10^4\)	无

放个 task 7 以外的部分分的推导

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\gcd(i,j) \\
\begin{aligned}
&=\sum_{d=1}^{\min\{n,m\}}d\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[\gcd(i,j)=d] \\
&=\sum_{d=1}^{\min\{n,m\}}d\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}[\gcd(i,j)=1] \\
&=\sum_{d=1}^{\min\{n,m\}}d\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}\sum_{k|i,k|j}\mu(k) \\
&=\sum_{d=1}^{\min\{n,m\}}d\sum_{k|(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor),k|(\lfloor\frac{m}{d}\rfloor)}\mu(k)(\lfloor\frac{n}{d\times k}\rfloor)(\lfloor\frac{m}{d\times k}\rfloor) \\
&=\sum_{d=1}^{\min\{n,m\}}d\sum_{k|(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor),k|(\lfloor\frac{m}{d}\rfloor)}\mu(k)(\lfloor\frac{n}{d\times k}\rfloor)(\lfloor\frac{m}{d\times k}\rfloor) \\
&=\sum_{T=1}^{\min\{n,m\}}\sum_{d|T}d\times\mu(\lfloor\frac{T}{d}\rfloor)\times(\lfloor\frac{n}{T}\rfloor)\times(\lfloor\frac{m}{T}\rfloor) \\
&=\sum_{T=1}^{\min\{n,m\}}(\lfloor\frac{n}{T}\rfloor)\times(\lfloor\frac{m}{T}\rfloor)\times\sum_{d|T}d\times\mu(\lfloor\frac{T}{d}\rfloor) \\
&=\sum_{T=1}^{n}(\lfloor\frac{n}{T}\rfloor)^{2}\times\varphi(T) \\
\end{aligned}
\]

对于 task 7，\(n=m\) 让我们很方便地直接少了一个变量，然后就继续推

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\gcd(i,j) \\
\begin{aligned}
&=\left(2\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}\gcd(i,j)\right)-\frac{n(n+1)}{2} \\
&=\left(2\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}d\times\sum_{j=1}^{i}[\gcd(i,j)=d]\right)-\frac{n(n+1)}{2} \\
&=\left(2\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}d\times\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{i}{d}\rfloor}[\gcd(\lfloor\frac{i}{d}\rfloor,j)=1]\right)-\frac{n(n+1)}{2} \\
&=\left(2\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}d\times\varphi(\lfloor\frac{i}{d}\rfloor)\right)-\frac{n(n+1)}{2} \\
\end{aligned}
\]

然后

\[\text{let }f(n)=\sum_{d|n}d\times\varphi(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)
\]

后面的就是前面举的例子了，略。

/*
\large\text{For 1e6 part} \\
\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\gcd(i,j) \\
\sum_{d=1}^{\min(n,m)}d\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[\gcd(i,j)=d] \\
\sum_{d=1}^{\min(n,m)}d\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[\gcd(i,j)=1] \\
\sum_{d=1}^{\min(n,m)}d\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}\sum_{k|i,k|j}\mu(k) \\
\sum_{d=1}^{\min(n,m)}d\sum_{k|(n/d),k|(m/d)}\mu(k)(n/(dk))(m/(dk)) \\
\sum_{d=1}^{\min(n,m)}d\sum_{k|(n/d),k|(m/d)}\mu(k)(n/(dk))(m/(dk)) \\
\sum_{T=1}^{\min(n,m)}\sum_{d|T}d\times\mu(T/d)\times(n/T)\times(m/T) \\
\sum_{T=1}^{\min(n,m)}(n/T)\times(m/T)\times\sum_{d|T}d\times\mu(T/d) \\
\sum_{T=1}^{n}(n/T)^{2}\times\varphi(T) \\
\text{precalculate the last part} \\
\large\text{For 1e7 part} \\
n=m \\
\left(2\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}\gcd(i,j)\right)-\frac{n(n+1)}{2} \\
\left(2\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}d\times\sum_{j=1}^{i}[\gcd(i,j)=d]\right)-\frac{n(n+1)}{2} \\
\left(2\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}d\times\sum_{j=1}^{i/d}[\gcd(i/d,j)=1]\right)-\frac{n(n+1)}{2} \\
\left(2\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}d\times\varphi(i/d)\right)-\frac{n(n+1)}{2} \\
f(i)=\sum_{d|i}d\times\varphi(i/d) \\
\text{f(i) is able to be sieved;} \\
f(1)=1,f(p)=p-1+p=2\times p-1,f(p^{k})=(k+1)\times p^{k}-k\times p^{k-1}
*/
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int id,t,n,m,tag[10000010],prime[10000010],cnt;
long long f[10000010],phi[10000010];
long long cqpow(long long bas,int fur)
{
	long long res=1;
	while(fur)
	{
		if(fur&1)	res*=bas;
		bas*=bas;
		fur>>=1;
	}
	return res;
}
void search(int x)
{
	tag[1]=phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=x;++i)
	{
		if(!tag[i])
		{
			prime[++cnt]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&(long long)prime[j]*i<=x;++j)
		{
			tag[prime[j]*i]=1;
			if(i%prime[j]==0)
			{
				phi[prime[j]*i]=phi[i]*prime[j];
				break;
			}
			else	phi[prime[j]*i]=phi[i]*(prime[j]-1);
		}
	}
	for(int i=1;i<=x;++i)	phi[i]+=phi[i-1];
}
long long calc(int x,int y)
{
	long long res=0;
	int lim=min(x,y);
	for(int l=1,r;l<=lim;l=r+1)
	{
		r=min(x/(x/l),y/(y/l));
		res+=(long long)(n/l)*(m/l)*(phi[r]-phi[l-1]);
	}
	return res;
}
void exsearch(int x)
{
	tag[1]=f[1]=1;
	for(int i=2;i<=x;++i)
	{
		if(!tag[i])
		{
			prime[++cnt]=i;
			f[i]=(i<<1)-1;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&(long long)prime[j]*i<=x;++j)
		{
			tag[prime[j]*i]=1;
			if(i%prime[j]==0)
			{
				int tmp=i/prime[j],power=2;
				while(tmp%prime[j]==0)
				{
					tmp/=prime[j];
					power++;
				}
				if(tmp==1)	f[prime[j]*i]=(power+1)*cqpow(prime[j],power)-power*cqpow(prime[j],power-1);
				else	f[prime[j]*i]=f[prime[j]*i/tmp]*f[tmp];
				break;
			}
			else	f[prime[j]*i]=f[prime[j]]*f[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=x;++i)	f[i]+=f[i-1];
}
long long excalc(long long x)
{
	return (f[x]<<1)-((x*(x+1))>>1);
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&id,&t);
	if(id^7)
	{
		search(1000000);
		while(t--)
		{
			scanf("%d%d",&n,&m);
			printf("%lld\n",calc(n,m));
		}
	}
	else
	{
		exsearch(10000000);
		while(t--)
		{
			scanf("%d%d",&n,&m);
			printf("%lld\n",excalc(n));
		}
	}
	return 0;
}