学习原根 by OI-wiki

根据 OI-wiki 的讲解，加以自己的理解和简化。偏重于算法竞赛而不是数学竞赛。

前置知识：

费马小定理：\(a^{p-1} \equiv 1(\mod p)\)，\(p\) 为质数。

欧拉定理：\(a^{\varphi(m)}\equiv 1(\mod m)\)，m 为任意正整数。

拉格朗日定理：\(p\) 为质数，\(n\) 整系数次多项式在模 \(p\) 意义下至多有 \(n\) 个不同解。（即多项式 \(f(x)\)，\(f(x)\equiv 0(\mod p)\) 的 \(x\) 的取值至多有 \(n\) 个。）

定义一个东西，称作阶。

阶：满足 \(a^n \equiv 1(\mod m)\) 的最小正整数 \(n\)，即为 \(a\) 模 \(m\) 的阶，记作 \(\delta_m(a)\)。由欧拉定理可知，任意 \(m\) 都存在 \(\varphi(m)\) 使得满足这个方程，所以 \(n\) 一定存在且 \(n \leq \varphi(m)\)。

• 性质 \(1\)：\(a^1,a^2,...,a^{\delta_m(a)}\) 模 \(m\) 两两不同余。
  
  证明：

  若 \(a^i \equiv a^j(\mod m),i < j \leq \delta_m{a}\)，则 \(a^{j-i}\equiv 1(\mod m)\)（等式两边同时除以 \(a^j\)）。

  显然 \(j-i<\delta_m(a)\)，根据阶的定义，与阶的最小性矛盾。

• 性质 \(2\)：若 \(a^n \equiv 1(\mod m)\)，则 \(\delta_m(a) | n\)。
  
  证明：
  
  考虑把 \(n\) 分解为 \(\delta_m(a)\) 的倍数+\(n\) 模 \(\delta_m(a)\) 得到的余数的形式，然后反证。

还有一堆性质，但我要学的是原根，故跳过。

原根：严谨定义：设 \(m\in \N^*,a\in \Z\)。若 \(\gcd(a,m)=1\)，且 \(\delta_m(a)=\varphi(m)\)，则称 \(a\) 为模 \(m\) 意义下的原根。一般的用途，对于质数 \(p\)，其原根为 \(g\)（可以证明一定存在），\(g^i \mod p,0 \leq i \leq p\) 的值互不相同。这一点在 NTT 里是关键所在，如果以后有机会我会写多项式相关的博客。

如何求原根？

一个结论：任意质数都有原根。

第二个结论：若 \(m\) 有原根，其最小原根不多于 \(m^{0.25}\) 级别。

可以考虑暴力枚举每一个数直到找到原根。判别式为原根的定义式。

判断数 \(x\) 是否为原根，先判断 \(x^{\varphi(m)}\equiv 1(\mod m)\) 是否成立，如果成立，然后根据阶的性质二，枚举 \(\varphi(m)\) 的因数是否成立，若因数全为否，则 \(x\) 为原根。

更简洁地，枚举 \(\varphi(m)\) 除以其中一个质因数，一共质因数个数多个数，这些数是否成立等价于所有因数是否成立。

\(\varphi\) 在 \(m\) 取值多但数值小时可以用线性筛，如果 \(m\) 只有一个，但是很大，考虑用根号算法算出 \(\varphi\) 的值。

以后贴一份求阶的线性筛代码。