ABC295 D题 题解

题意简述

给定一个长度不超过\(\;5\times 10^5\;\)的，仅有数字构成的字符串，问存在多少段子串，使得子串内字符重新排序后，前半段与后半段相同？

做法分析

重组后前后两部分相同，其实也就意味着，这一子串内所有数字出现的次数都为偶数次。

考虑暴力竹筏，枚举左端点和右端点，统计子串内每个数字出现次数，判断是否都为偶次。但是这样达到\(O(n^3)\)级别，效率过低。

可以利用前缀和的思想进行优化，对于每一位 i，统计从第一位到这一位每个数字 x 出现的次数 \(num_{i,x}\) ，而子串 \((L， R)\) 内数字 x 出现次数为偶次，等价于 \(num_{R, x}\) 减 \(num_{L-1, x}\) 为偶次，等价于 \(num_{R, x}\) 和 \(num_{L-1, x}\) 的奇偶性相同。

这时可以发现，其实出现了几次并不重要，重要的是出现次数的奇偶性，那就可以把每一位的状态值整合成一个二进制下，十位的，由 0 和 1 组成的数字。而出现的每个数字奇偶性相同等价于状态值相同。

那做法就很明了了，从前往后统计每一位的状态值，将答案加上这一状态值之前出现的次数，最后在将这一状态值出现次数加 1 。

参考代码

    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;

    string s;
    long long ans, now;
    map<long long, int> m;

    int main()
    {
        cin >> s;
        m[0] = 1; //注意：第零位，每种数字都没出现也要计算，因为从第一位到第 x 位实际上是要判断第 0 位和第 x 位的状态值
        for(int i = 0;i < s.size(); i++)
        {
            int x = s[i] - '0';
            now ^= 1 << x;
            ans += m[now];
            m[now]++;
        }

    	cout << ans;

    	return 0;
    }