拟合算法与matlab工具包实现

与插值问题不同，在拟合问题中不需要曲线一定经过给定的点。拟合问题的目标是寻求一个函数（曲线），使得该曲线在某种准则下与所有的数据点最为接近，即曲线拟合的最好（最小化损失函数）

目录

• 一、插值和拟合的区别
• 二、拟合方法实现原理————最小二乘法
  • 1.y与y_hat的距离最小为什么不可以用绝对值来表示？
  • 2.y与y_hat的距离最小为什么不可以用奇次幂来表示？
  • 3.y与y_hat的距离最小为什么不可以用高次幂（如4次）来表示？
• 三、matlab曲线拟合工具箱的应用
  • 1.工具箱位置
  • 2.数据的导入
  • 3.拟合方法的选择
  • 4.结果查看与拟合优度检验
  • 5.自定义方程拟合

一、插值和拟合的区别

插值算法中，得到的多项式f(x)要经过所有样本点。但是如果样本点太多，那么这个多项式次数过高，会造成龙格现象。尽管我们可以选择分段的方法避免这种现象，但是更多时候我们更倾向于得到一个确定的曲线，尽管这条曲线不能经过每一个样本点，但只要保证误差足够小即可，这就是拟合的思想。(拟合的结果是得到一个确定的曲线）

并且，拟合函数倾向于选择尽可能简单的函数

二、拟合方法实现原理————最小二乘法

最小二乘法的思想应用广泛，具体原理与推导请见《概率论与数理统计教程》————茆诗松

本文在这一方面仅回答几个***钻的问题

1.y与y_hat的距离最小为什么不可以用绝对值来表示？

答：不容易求导，因此计算比较复杂

2.y与y_hat的距离最小为什么不可以用奇次幂来表示？

答：：误差会正负相抵。

3.y与y_hat的距离最小为什么不可以用高次幂（如4次）来表示？

答：是为了避免极端数据对拟合曲线的影响。如果存在极端值，距离相减后再进行4次幂，这个值会非常的大。那么为了减小这个值，就只能更加接近与异常值，这样会导致曲线拟合精度出现问题

三、matlab曲线拟合工具箱的应用

1.工具箱位置

2.数据的导入

3.拟合方法的选择

在拟合过程中，我们倾向于选择多项式拟合与自定义方程拟合



在右边的拟合选项处，我们可以选择拟合多项式的次数

4.结果查看与拟合优度检验

在右下角可以看到参数的结果



拟合优度有几个指标，其中SSE代表误差平方和，越小越好；而R方越靠近1越好：

其中R方仅在线性回归中有用，在选择其他模型中，R方没有用；但是SSE在任何模型中都有用

注：不能为了让R方或者SSE最小而不断选择高次多项式，会造成过拟合

5.自定义方程拟合

拟合方法的选择可以选择自定义方程，此处我需要注意参数的输入形式

这里自变量一定要设置好，此处为t。其他的未知参数如xm与r，matlab会将其识别为代定参数，会根据优化算法寻找最优参数



但有时候，优化算法并不能找到最优参数，这是需要改变参数寻找的初始点

在拟合选项中，我们把xm的初始值改为100，则能够寻找到最优参数