gcd模板（欧几里得与扩展欧几里得、拓展欧几里得求逆元）

gcd（欧几里得算法辗转相除法）：

gcd （ a ， b ）= d ；

即 d = gcd （ a ， b ） = gcd （ b ， a mod b ）；以此式进行递归即可。

之前一直愚蠢地以为辗转相除法输进去时 a 要大于 b ，现在发现事实上如果 a 小于 b，那第一次就会先交换 a 与 b。

 #include<stdio.h>
 #define ll long long 

 ll gcd(ll a,ll b){
     return b==?a:gcd(b,a%b);
 }

 int main(){
     ll a,b;
     while(scanf("%lld%lld",&a,&b)!=EOF){
         printf("%lld\n",gcd(a,b));
     //    printf("%lld\n",a>b?gcd(a,b):gcd(b,a));
     }
     return ;
 }

在原基础上改成循环之后的GCD：

 ll gcd(ll a,ll b){
     for(;a>&&b>;a>b?a%=b:b%=a);
     return a+b;
 }

这个代码是针对非负数范围的，但除此之外我还纠结了很久，在非负数的范围内（long long内）与普通递归的gcd对拍并没有发现问题，一直做题的时候也没有发现有什么问题，但是刷到一题UVA10325，经测试数据中没有给0或负数，但是用这个WA用递归版的AC，并不知道为什么。

所以……还是库函数/递归保平安吧

拓展欧几里得：

当 gcd （ a ， b ）= d 时，求绝对值和最小的 x ， y 使得 x * a + y * b = d ；

d = gcd （ a ， b ） = gcd （ b ， a mod b ）；

设：

x1 * a + y1 * b = d ；　　　　　　　　①

x2 * b + y2 * （ a mod b ） = d ；　　 ②

因为 a mod b = a - （ a / b ）* b；　　③（除法为整除）

将③代入①整理得：

y2 * a + （ x2 - （ a / b ） * y2 ） * b = d；　④

由①和④整理得：

x1 = y2 ；

y1 = x2 - （ a / b ） * y2；

将此结论代入递归函数既得。

 #include<stdio.h>
 #define ll long long

 void gcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y){
     if(!b){d=a;x=;y=;}
     else {gcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}
 }

 int main(){
     ll a,b,d,x,y;
     while(scanf("%lld%lld",&a,&b)!=EOF){
         gcd(a,b,d,x,y);
         printf("%lld*%lld+%lld*%lld=%lld\n",a,x,b,y,d);
     }
     return ;
 }

拓展欧几里得求逆元：

当 a 与 b 互素时有 gcd （ a ， b ） = 1 ；

即得： a * x + b * y = 1；

a * x ≡ 1 （ mod b ）；

由于 a 与 b 互素，同余式两边可以同除 a ，得：

1 * x ≡ 1 / a （mod b）；

因此 x 是 a mod b 的逆元；

递归方法计算：

 #include<stdio.h>
 #define ll long long

 ll gcd(ll a,ll b,ll &d,ll& x,ll& y){
     if(!b){
         d=a;
         x=;
         y=;
         return x;
     }
     else{
         gcd(b,a%b,d,y,x);
         y-=x*(a/b);
     }
     return x;
 }

 int main(){
     ll a,b,d,x,y;
     while(scanf("%lld%lld",&a,&b)!=EOF){
         x=gcd(a,b,d,x,y);
         printf("a:%lld->x:%lld\n",a,x);
 //        printf("a:%lld->x:%lld\nb:%lld->y:%lld\n",a,x,b,y);
     }
     return ;
 }

循环方法计算：

 #include<stdio.h>

 int main(){
     int a,b;
     while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF){
         int x=,y=,t;

         {
             if(a!=&&b!=){
                 int b0=b,q;
                 while(a>){
                     q=a/b0;
                     t=b0;b0=a%b0;a=t;
                     t=y;y=x-q*y;x=t;
                 }
                 if(x<)x+=b;
             }
         }

         printf("a:%d->x:%d\n",a,x);
     }
     return ;
 }

 ll gcd(ll a,ll b){
     if(a!=&&b!=){
         int b0=b,q,t,x=,y=;
         while(a>){
             q=a/b0;
             t=b0;b0=a%b0;a=t;
             t=y;y=x-q*y;x=t;
         }
         if(x<)x+=b;
     }
     return x;
 }