[AHOI2004]数字迷阵

嘟嘟嘟

应该算一道结论题吧。

首先很明显的一点，就是对于a_i,j，我们只用求出a_i,1就行了，剩下的就是斐波那契和矩阵快速幂的事。

至于如何求a_i,1，用两种方法，但是哪一个我都不懂为啥，网上也没有解释。

F1：斐波那契最小拆分。对于 i，拆分 i - 1：每一次选择小于i - 1且最大的斐波那契数相减，然后用二进制表示每一个斐波那契数取没取到。于是的到一个01序列，然后再后面再加一个01，对应到新的取数序列，代入斐波那契，就得到了a_i,1。

举个例子：i = 5，于是拆分4：4 = 3 + 1，则序列为101，加上01：10101，对应到斐波那契序列为1 + 3 + 8 = 12，就是a_i,1。

F2：解法就更迷了：把a_i,1序列输到OEIS上，直接得到了这么个公式：a_i,1 = i * (1 + √5) / 2 + i - 1。代入求值……

知道了a_i,1和a_i,2，剩下的就是矩阵快速幂水过了。

 #include<cstdio>
 #include<iostream>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<cctype>
 #include<vector>
 #include<stack>
 #include<queue>
 using namespace std;
 #define enter puts("")
 #define space putchar(' ')
 #define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
 #define rg register
 typedef long long ll;
 typedef double db;
 const int INF = 0x3f3f3f3f;
 const db eps = 1e-;
 //const int maxn = ;
 inline ll read()
 {
     ll ans = ;
     char ch = getchar(), last = ' ';
     while(!isdigit(ch)) {last = ch; ch = getchar();}
     while(isdigit(ch)) {ans = ans *  + ch - ''; ch = getchar();}
     if(last == '-') ans = -ans;
     return ans;
 }
 inline void write(ll x)
 {
     if(x < ) x = -x, putchar('-');
     if(x >= ) write(x / );
     putchar(x %  + '');
 }

 ll n, m, mod;
 ll c[];
 const int ha[] = {, , , , , };

 const int N = ;
 struct Mat
 {
     ll a[N][N];
     Mat operator * (const Mat& oth)const
     {
         Mat ret; Mem(ret.a, );
         for(int i = ; i < N; ++i)
             for(int j = ; j < N; ++j)
                 for(int k = ; k < N; ++k)
                     ret.a[i][j] += a[i][k] * oth.a[k][j], ret.a[i][j] %= mod;
         return ret;
     }
 }f;

 void init()
 {
     Mem(f.a, );
     f.a[][] = f.a[][] = f.a[][] = ;
 }

 Mat quickpow(Mat A, ll b)
 {
     Mat ret; Mem(ret.a, );
     ret.a[][] = ret.a[][] = ;
     for(; b; b >>= , A = A * A)
         if(b & ) ret = ret * A;
     return ret;
 }

 int main()
 {
     n = read(); m = read(); mod = read();
         c[] = ((ll)(n * ( + sqrt())) /  + n - ) % mod;
     c[] = ((c[] *  - n + ) % mod + mod) % mod;
     init();
     if(m < ) {write(c[m]), enter; return ;}
     m -= ;
     Mat A = quickpow(f, m);
     ll ans = A.a[][] * c[] % mod + A.a[][] * c[] % mod;
     write(ans % mod), enter;
     return ;
 }