线性代数之——微分方程和 exp(At)

本节的核心是将常系数微分方程转化为线性代数问题。

\[\frac{du}{dt}=\lambda u \quad 的解为 \quad u(t) = Ce^{\lambda t}\]

代入 \(t=0\)，可得 \(u(0) = C\)，因此有 \(u(t) = u(0)e^{\lambda t}\)。这是只有一个变量的情况，在线性代数里，我们扩展到 \(n\) 个方程的情况。

\[\frac{d\boldsymbol u}{dt}=A \boldsymbol u \quad 初始条件为向量 \quad \boldsymbol u(0)_{t=0} \]

注意，这里 \(A\) 是常矩阵，不随时间而改变。而且这些方程是线性的，如果 \(\boldsymbol u(t)\) 和 \(\boldsymbol v(t)\) 都是方程组的解，那么它们的线性组合 \(C\boldsymbol u(t)+D\boldsymbol v(t)\) 也是解，我们需要 \(n\) 个这样的常数来匹配方程组的初始条件。

1. \(\frac{d\boldsymbol u}{dt}=A \boldsymbol u\) 的解

其中一个解是 \(e^{\lambda t} \boldsymbol x\)，\(\lambda\) 是矩阵 \(A\) 的特征值，而 \(\boldsymbol x\) 是特征向量。将这个解代入原方程，利用 \(A\boldsymbol x=\lambda \boldsymbol x\) 可得

\[\frac{d\boldsymbol u}{dt} = \lambda e^{\lambda t} \boldsymbol x = A e^{\lambda t} \boldsymbol x=A \boldsymbol u\]

这个解的所有部分都有 \(e^{\lambda t}\)，当 \(\lambda>0\) 时，解会增长；当 \(\lambda<0\) 时，解会衰减。而当 \(\lambda\) 为虚数时，则它的实部决定解是增长还是衰减。

• 例 1

求解 \(\frac{d\boldsymbol u}{dt}=A \boldsymbol u = \begin{bmatrix}0&1 \\ 1&0\end{bmatrix}\boldsymbol u，\boldsymbol u_0 = \begin{bmatrix}4 \\ 2\end{bmatrix}\)。

矩阵 \(A\) 的特征值为 1 和 -1，特征向量为 (1, 1) 和 (1, -1)，因此两个纯指数解为：

\[\boldsymbol u_1(t) = e^{\lambda_1 t} \boldsymbol x_1 = e^t\begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix}\]

\[\boldsymbol u_2(t) = e^{\lambda_2 t} \boldsymbol x_2 = e^{-t}\begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix}\]

这些 \(\boldsymbol u\) 依然是矩阵的特征向量，它们满足 \(A\boldsymbol u_1 = \boldsymbol u_1\) 和 \(A\boldsymbol u_2 = -\boldsymbol u_2\)，只不过是系数随着 \(t\) 改变罢了。方程组的全解为这些特解的线性组合。

利用初始条件我们可以确定出系数 \(C\) 和 \(D\)。

因此，我们可以通过以下三个步骤来求解 \(\frac{d\boldsymbol u}{dt}=A \boldsymbol u\)。

• 将 \(\boldsymbol u_0\) 写成特征向量的线性组合，\(\boldsymbol u_0 = c_1 \boldsymbol x_1+\cdots+c_n \boldsymbol x_n\)；
• 将每个特征向量 \(\boldsymbol x_i\) 乘以 \(e^{\lambda_i t}\)；
• 全解就是 \(e^{\lambda t}\boldsymbol x\) 的线性组合，\(\boldsymbol u(t) = c_1 e^{\lambda_1 t}\boldsymbol x_1+\cdots+c_ne^{\lambda_n t} \boldsymbol x_n\)。

注意，如果两个特征值相同而只有一个对应的特征向量，那么我们就需要另外一个解 \(te^{\lambda t}\boldsymbol x\)。

• 例 2

2. 二阶方程组

针对二阶方程 \(my''+by'+ky=0\)，我们将之转化为矩阵形式，假设 \(m=1\)。

因此，我们需要先求解出矩阵的特征值和特征向量。

3. 2×2 矩阵的稳定性

针对方程组的解，我们想知道随着 \(t \to \infty\)，解是否趋向于 \(\boldsymbol u = 0\)，也就是问题是否是稳定的。这取决于矩阵的特征值。

全解是由 \(e^{\lambda t}\boldsymbol x\) 构建出来的。如果特征值 \(\lambda\) 是实数，只有当 \(\lambda<0\) 时，解才会趋向 0。如果特征值 \(\lambda\) 是复数，那么有 \(\lambda=r+is\)，那么其实部必须小于零。

对 2×2 矩阵 \(\begin{bmatrix}a&b \\ c&d\end{bmatrix}\) 来说，如果其两个特征值满足上面的两个条件，则一定有：

\[\lambda_1 + \lambda_2 < 0 \to 矩阵的迹 \quad T = a + d < 0 \]

\[\lambda_1 \lambda_2 > 0 \to 矩阵的行列式 \quad D = ad - bc > 0 \]

4. 矩阵的指数次方

最后，我们想将方程组的解写成一个新的形式 \(\boldsymbol u(t) =e^{At}\boldsymbol u_0\)。

\[e^x = 1 + x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3 + \cdots\]

我们将 \(x\) 换成矩阵，可得：

\[e^{At} = I + At+\frac{1}{2}(At)^2+\frac{1}{6}(At)^3 + \cdots\]

它的导数为 \(Ae^{At}\)：

\[A + A^2t+\frac{1}{2}A^3t^2+\frac{1}{6}A^4t^3 + \cdots =Ae^{At} \]

它的特征值是 \(e^{\lambda t}\)：

\[(I + At+\frac{1}{2}(At)^2+\frac{1}{6}(At)^3 + \cdots)x = (1+\lambda t + \frac{1}{2}(\lambda t)^2+\frac{1}{6}(\lambda t)^3 + \cdots)x\]

假设 \(A\) 有 \(n\) 个线性不相关的特征向量，将 \(A=S\Lambda S^{-1}\) 代入 \(e^{At}\) 可得：

\[e^{At} = I + At+\frac{1}{2}(At)^2+\frac{1}{6}(At)^3 + \cdots\]

\[= I + S\Lambda S^{-1}t+\frac{1}{2}(S\Lambda S^{-1}t)(S\Lambda S^{-1}t)+ \cdots\]

将 \(S\) 和 \(S^{-1}\) 提取出来有

\[= S(I + \Lambda t+\frac{1}{2}(\Lambda t)^2+\cdots)S^{-1} = Se^{\Lambda t}S^{-1}\]

这和之前解的形式是一模一样的！

• 例 3
  

\(e^{At}\) 满足下面三个规则：

• \(e^{At}\) 总有逆矩阵 \(e^{-At}\)；
• \(e^{At}\) 的特征值总是 \(e^{\lambda t}\)；

• 如果 \(A\) 是反对称矩阵，即 \(A^T=-A\)，那么 \(e^{-At}\) 是一个正交矩阵，转置等于逆。

• 例 4

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