初识费用流 模板(spfa+slf优化) 餐巾计划问题

　　今天学习了最小费用最大流，是网络流算法之一。可以对于一个每条边有一个容量和一个费用（即每单位流的消耗）的图指定一个源点和汇点，求在从源点到汇点的流量最大的前提下的最小费用。

　　这里讲一种最基础也是最好掌握的实现算法，就是spfa求费用流。

　　其实也很简单，在最大流的基础上，我们将dfs增广替换成对于费用为权值的边跑spfa得到的最短路，相当于一个贪心的思想。证明有一定难度，稍微口糊一下，就像ford-fulkerson一样，这个算法每次都能找到一条单位流费用和最小的路径，又由于路径中每条边的流量相等，每次增广就能使得单位流量的平均费用更小，而最大流流量是不变的，这样就能使得费用最小。

　　网络流算法主要考建图，所以模板只要会默下来就够了，还有就是：

　　一定要会写spfa！！！

　　对于spfa，这里有两个小优化。

　　一个是slf优化，就是对于spfa的进队操作，进之前判一下若小于队头就直接插在队头，这个还是蛮有用的，可以提升点速度；

　　另一个是记路径的时候可以不用记前趋点，只要记边，反向边指向的就是前趋，就不用多开一个数组的空间。(这个是zxyer学长当时说的)

　　下面贴上代码：

　　这是网络流24题中的餐巾计划问题。

　　题目大意是：一个饭馆每天需要使用ri条干净的餐巾，用完就脏了，干净餐巾可以由3种方式得到：

　　　　1.直接购买，p元一条；

　　　　2.快洗，需要t1天，花费w1元；

　　　　3.慢洗，需要t2天，花费w2元；

　　所以我们建6种边，把每天拆成两个点，分别为干净的（1~n）和脏的（n+1~n*2），这里要注意的是，干净的不直接向脏的连边，而是连向T，相当于必须送满ri条给顾客使用，再从S送到脏的一边。

 #include<cstdio>
 using namespace std;
 const int inf=;
 int n,m,p,t1,w1,t2,w2,tot=,mx,q[],d[],pree[],h[];
 struct edge{int to,nxt,cst,cap;}e[];
 bool vis[];
 int mn(int x,int y){return x>y?y:x;}
 void add(int fr,int to,int cst,int cap)
 {
     e[++tot]={to,h[fr],cst,cap};h[fr]=tot;
     e[++tot]={fr,h[to],-cst,};h[to]=tot;//建一条容量为0费用为-cap的反向边且满足正反边异或值为1方便将边取反
 }
 void init()
 {
     scanf("%d%d%d%d%d%d",&n,&p,&t1,&w1,&t2,&w2);
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         int r;scanf("%d",&r);mx+=r;
         add(,n+i,p,inf);//直接购买花费p元
         add(,i,,r);//当天用完的旧餐巾
         add(i+n,n*+,,r);//当天需要使用的新餐巾
         if(i+t1<=n)add(i,i+n+t1,w1,inf);//快洗花费t1时间，每条w1元
         if(i+t2<=n)add(i,i+n+t2,w2,inf);//快洗花费t2时间，每条w2元
         if(i<n)add(i,i+,,inf);//不需要做任何事的餐巾积到明天（也可以先洗完然后放在那边等就是n+i连向n+i+1）
     }
     n=n*+;
 }
 bool spfa()
 {
     for(int i=;i<=n;i++)d[i]=inf;
     int l=,r=;q[]=;vis[]=;
     while(l!=r)
     {
         int x=q[l=l==n?:l+];
         for(int i=h[x];i;i=e[i].nxt)
             if(e[i].cap&&e[i].cst+d[x]<d[e[i].to])
             {
                 int v=e[i].to;
                 pree[v]=i;
                 d[v]=d[x]+e[i].cst;
                 if(!vis[v])
                 {
                     if(d[v]>d[l+])q[r=r==n?:r+]=v;
                     else q[l]=v,l=l==?n:l-;//这边加的是slf优化，用了循环队列来写
                     vis[v]=;
                 }
             }
         vis[x]=;
     }
     return d[n]==inf?:;
 }
 int costflow()
 {
     int cost=,mm=;
     while(spfa())
     {
         int mi=inf;
         for(int i=n;i;i=e[pree[i]^].to)//记路径时记下前趋路径
             mi=mn(mi,e[pree[i]].cap);
         for(int i=n;i;i=e[pree[i]^].to)
         {
             int ee=pree[i];
             e[ee].cap-=mi;
             e[ee^].cap+=mi;
         }
         cost+=d[n]*mi;
         mm+=mi;
     }
     return mm==mx?cost:;//是否满流的判断(这道题不会出现不满流的情况，所以不加也可)
 }
 int main()
 {
     init();
     printf("%d",costflow());
     return ;
 }