[unknown source] 整数拆分

一、题目

题目描述

定义一个整数拆分序列 $a$ 的权值为：

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{i-1}\gcd(a_i,a_j)
\]

求对于一个整数 $n$ 所有整数拆分序列的权值和模 $1e9+7$ 的值，有 $m$ 个数不能选。

数据范围

$n,m\leq2000$，多组数据

二、解法

法一

见到 $\gcd$ 就用莫比乌斯反演，问题变成了求 $i$ 倍数有 $x$ 个的整数拆分个数。

暴力完全背包是 $O(n^3\log n)$ 的，瓶颈在于加入那些贡献为 $0$ 的数，所以可以做一个退背包，时间复杂度 $O(n^2\log^2n)$，这种做法我讲得比较简略因为他是没有前途的（主要是告诉你完全背包也是可以退的）

法二

正解是算贡献（这么强的东西怎么我学不会啊！）

具体来说我们统计每对 $(a_i,a_j)$ 的贡献，首先要算一个 $f[i]$ 表示去掉不能选的数后 $i$ 的整数拆分个数，这个东西暴力算是 $O(n^2)$ 的。

然后考虑对于一个拆分序列统计值 $x$ 和值 $y$ 之间的贡献，设这个拆分序列的 $x$ 数量是 $a$，$y$ 的数量是 $b$，那么我们肯定要让 $\gcd(x,y)$ 被统计 $a\times b$ 次，但是在真实的计算中我们是不知道 $a,b$ 的，只能尝试用 $f$ 去表示它，我们枚举 $i,j$ 表示 $x$ 钦定选 $i$ 个，$y$ 钦定选 $j$ 个，那么我们要在 $i\in[1,a],j\in[1,b]$ 的时候统计一次就可以了，所以贡献算出来是这样的：

稍微解释一下这个钦定，其实它是一个很重要的概念，就表示强制选某些另一些乱选的情况

\[\sum_{x,y,i,j}\gcd(x,y)\times f(n-ix-iy)
\]

算贡献的魅力就在于：就算你不知道一些东西，但是他依然是可以统计的

这个东西肯定不能暴力算，有一个比较小清新的优化，设 $t=ix$，求出 $c[t][y]$ 表示 $\sum f(n-t-jy)$，根据调和级数求和的理论不难发现求出这个东西是 $O(n^2\log n)$ 的，然后暴力枚举 $x,y$ 和 $x$ 的所有倍数，同样是调和级数的 $O(n^2\log n)$

白嫖了一个好看的代码：

#include<bits/stdc++.h>

#define maxn 2005

using namespace std;

const int mod = 1e9+7;

int n,m,ans,a[maxn],g[maxn][maxn],f[maxn],c[maxn][maxn];

bool ban[maxn];

inline int add(int x,int y){return (x+=y)>=mod?x-mod:x;}

int main()

{

	freopen("zscf.in","r",stdin);

	freopen("zscf.out","w",stdout);

	for(int i=1;i<=2000;i++)

		for(int j=i;j<=2000;j++)

			g[i][j]=g[j][i]=__gcd(i,j);

	while(~scanf("%d%d",&n,&m)){

		memset(ban,0,n+1),ans=0;

		for(int i=1,x;i<=m;i++) scanf("%d",&x),ban[x]=1;

		memset(f,0,(n+1)<<2),f[0]=1;

		for(int i=1;i<=n;i++) if(!ban[i])

			for(int j=i;j<=n;j++)

				f[j]=add(f[j],f[j-i]);

		for(int j=1;j<=n;j++) if(!ban[j])

			for(int i=n;i>=1;i--)

				if(i+j<=n) c[i][j]=add(c[i+j][j],f[n-i-j]);

				else c[i][j]=0;

		for(int i=1;i<=n;i++) if(!ban[i]){

			int cnt=0;

			for(int x=1,s=i;s<=n;s+=i,x++){

				if(s+i<=n) cnt=add(cnt,1ll*x*f[n-s-i]%mod);

				for(int j=1;j<i;j++) if(!ban[j])

					ans=add(ans,1ll*g[i][j]*c[s][j]%mod);

			}

			ans=add(ans,1ll*cnt*i%mod);

		}

		printf("%d\n",ans);

	}

}