《算法导论》习题解答 Chapter 22.1-5（求平方图）

一、邻接矩阵实现



思路：如果是邻接矩阵存储，设邻接矩阵为A，则A*A即为平方图，只需要矩阵相乘即可；

伪代码：

for i=1 to n
	for j=1 to n
		for k=1 to n
			result[i][j]+=matrix[i][k]*matrix[k][j];

算法复杂度

两个n维数组相乘，因此复杂度为O(V^3),当然可以通过Strassen算法稍加改进.

扩展：这种方法的作用是比如求u到v路径长度为k的路径数目，只需要求A^k，然后[u][v]即可。



算法正确性分析



命题：给定两点i,j，i,j路径长度为r的路径数目等于A^r[i][j].

数学归纳法证明，

当n=1时，A[i][j]表示i到j的路径长度为1的路径数目。

假设n=k时，i,j路径长度为k的路径数目等于A^k[i][j]成立，则当n=k+1时，A^k+1 = A^k *A

因此A^k+1[i][j]=A^k[i][1]*A[1][j]+A^k[i][2]*A[2][j]+.....+A^k[i][|V|]*A[|V|][j]

因此成立。



输入：

4 3
a b
b c
c d

源代码：

package C22;

public class C1_5 {
	public static void main(String[] args) throws Exception {
		Adjacent_Matrix adj_matrix = GraphFactory.getAdjacentMatrixInstance("input\\22.1-5.txt");
		int[][]result = getSquareGraph(adj_matrix);
		print(result);
	}
	public static int[][] getSquareGraph(Adjacent_Matrix g){
		int[][] matrix = g.getMatrix();
		int result[][] = new int[matrix.length][matrix.length];
		for(int i=0;i<matrix.length;i++){
			for(int j=0;j<matrix.length;j++){
				for(int k=0;k<matrix.length;k++){
					result[i][j] += matrix[i][k]*matrix[k][j];
				}
			}
		}
		return result;
	}
	public static void print(int[][] arr){
		for(int i=0;i<arr.length;i++){
			for(int j=0;j<arr.length;j++)
				System.out.print(arr[i][j]+" ");
			System.out.println();
		}
		System.out.println();
	}
}

二、邻接表实现

伪代码：

 for u=1 to |V|
 	for each v 属于 Adj[u]
 		Adj1[u].insertAll(Adj[v]);
对G'去除重边;  //O(E^2)

复杂度：

1~3行的复杂度为O(V+E)

4行的复杂度为O(E^2),因为最多能够生成O(E^2)条边。

（原文点此，索引目录。感谢xiazdong君
&& Google酱。这里是偶尔做做搬运工的水果君(^_^)
）