Java中浮点数能连续精确表示整数的范围

转自http://blog.csdn.net/seizef/article/details/5571783#ref_1，有删改。

先简单介绍一下浮点数在计算机中的组成，在Java中采用的浮点数表示法是IEEE754标准。

任意一个二进制浮点数V可以表示成下面的形式，进一步说明请参照[1]：

　　

（1）(-1)^s表示符号位，当s=0，V为正数；当s=1，V为负数。

　　（2）M表示尾数，范围是[1,2)(规格化)或者是[0,1)(非规范化)。

　　（3）2^E表示阶码。

当用浮点数来表示整数时，我们要得到连续的整数分布，肯定希望尾数的精度越高越好。显然，尾数的位数限制了能表示的最大的整数的值。对于一个浮点数，设p为其尾数的有效位数，那么最大的尾数就是1 + 1 - 2^(-p)，所以最大的整数为(2-2^(-p)) * 2^(p) = 2^(p+1) - 1。由于浮点数是有符号的，所以很自然的我们想到整数范围为[-2^(p+1) – 1, 2^(p+1) – 1]。可是我们还遗漏了2个数，就是2^(p+1)和-2^(p+1)。我们来看这两个整数的浮点数表示。规格化后，2^(p+1) = (1.0000…000) * 2^(p+1)，其中尾数部分小数点后有p+1个0。但是我们知道，我们的尾数最多只能存储p个0，，但是很巧，由于被舍去的最后一个数字是0，所以不影响实际取值，所以2^(p+1)就可以精确表示了。同理-2^(p+1)也是如此。

注意，可能有读者会想到，既然1.00..000*2^(p+1)可以精确表示，那么很显然，对于单精度浮点数p=23，而指数的可表示范围-126~+127，那么为什么2^(p+1)就是可以表示的最大整数呢。因为我们文章的标题是连续精确表示整数的范围。2^(p+1)，2^(p+2),2^(p+3)都可以精确表示，但是[2^(p+1), 2^(p+2)]之间还有许多数就无法表示了，因为尾数不够。

所以对于IEEE754 单精度和双精度浮点数，能够精确表示的整数的范围为

Floating Point	Range
float	[-2^24,2^24]
double	[-2^53,2^53]

[1]http://www.cnblogs.com/BJUT-2010/p/5551008.html