AC自动机-算法详解

What's Aho-Corasick automaton?

　　一种多模式串匹配算法，该算法在1975年产生于贝尔实验室，是著名的多模式匹配算法之一。

　　简单的说，KMP用来在一篇文章中匹配一个模式串；但如果有多个模式串，需要在一篇文章中把出现过的模式串都匹配出来，就需要Aho-Corasick automaton算法了。

My Understanding About Aho-Corasick automaton

　我的理解：Aho-Corasick automaton = Trie + KMP

　　在KMP算法中，匹配单个字符的时候，我们只需要按照文本线性的扫一遍，然后中途失配的时候，next数组会引导k回溯到正确的位置进行下一步的匹配。

　　但是多个模式串的时候要怎么匹配呢？Trie树不就是一个多模式的匹配吗，如果我们将KMP和Trie数结合起来，是不是会有意想不到的效果呢？

　　有了这些思考，AC自动机算法就这样产生了。

　　在AC自动机中，我们首先将每一个模式串插入到Trie树中去，建立一棵Trie树，然后构建fail指针，fail指针，顾名思义，就是当匹配失败的时候，用来引导k回溯的一个插穿在Trie树的各个节点之间的一些指针，就和KMP算法中的next数组是一样的道理。

　　关于fail指针的构建，推荐看一下李翔大神的PPT。

　　ppt下载链接：

　　　　http://wenku.baidu.com/view/93af2c936bec0975f465e2f1.html

1.构建Trie树

2.在Trie树上构建fail指针

构建完fail指针后，我们就用文章来对这棵Trie树进行匹配了。

　　匹配过程分两种情况：

当前字符匹配，表示从当前节点沿着树边有一条路径可以到达目标字符，此时只需沿该路径走向下一个节点继续匹配即可，目标字符串指针移向下个字符继续匹配；
当前字符不匹配，则去当前节点fail指针所指向的字符继续匹配，匹配过程随着指针指向root结束。重复这2个过程中，直到模式串走到结尾为止。

　　对照上图，看一下模式匹配这个详细的流程，其中模式串为yasherhs。

　　对于i=0,1。Trie中没有对应的路径，故不做任何操作；i=2,3,4时，指针p走到左下节点e。

　　因为节点e的count信息为1，所以cnt+1，并且讲节点e的count值设置为-1，表示改单词已经出现过了，防止重复计数，最后temp指向e节点的失败指针所指向的节点继续查找，以此类推，最后temp指向root，退出while循环，这个过程中count增加了2，表示找到了2个单词she和he。

　　当i=5时，程序进入第5行，p指向其失败指针的节点，也就是右边那个e节点，随后在第6行指向r节点，r节点的count值为1，从而count+1，循环直到temp指向root为止。

　　最后i=6,7时，找不到任何匹配，匹配过程结束。

匹配过程总结:

从root节点开始，每次根据读入的字符沿着自动机向下移动。

当读入的字符，在分支中不存在时，递归走Fail指针。如果走Fail指针走到了root节点，则跳过该字符，处理下一个字符。
因为AC自动机是沿着输入文本的最长后缀移动的，所以在读取完所有输入文本后，最后递归走Fail指针，直到到达根节点，这样可以检测出所有的模式。
这个过程和KMP算法的匹配也是非常相似，当然这一步就非常灵活了，我们需要通过多做题来提高熟练度。

Time Complexity Analyse

假设有N个模式串，平均长度为L；文章长度为M。

建立Trie树：O(N*L)

建立fail指针：O(N*L)

模式匹配：O(M*L) （注：之所以要乘以一个L，是因为在统计的时候需要顺着链回溯到root结点）

所以，总时间复杂度为:O( (N+M)*L )

Some Good Selection Of Standard Exercise

Entry：

synthesize problems:

TSP HDU 3341. Lost's revenge HDU 3247. Resource Archiver
状态压缩、可变进制编码 HOJ 2951. Writing Robot / HDU 3505
最大权闭合子图 ZeroJudge b179.Cans
自动机 DP、fail 指针转移 CodeChef July Challenge 2012. Favourite Numbers
二分答案、数位 DP、构造方案 Andrew Stankevich's Contest #2, Problem A, Non Absorbing DFA
预处理、DP、高精度 SPOJ. 9941. GRE Words / HDU 4117