[PeterDLax著泛函分析习题参考解答]第1章 线性空间
1. 证明定理 1.
2. 验证上述结论.
3. 证明定理 3.
4. 证明定理 4.
证明: 由 $$\bex x=\sum_{k=1}^{n-1}a_k\cdot \sum_{j=1}^{n-1}\cfrac{a_j}{\sum_{k=1}^{n-1}a_k}x_j+a_nx_n \eex$$ 及数学归纳法即知结论.
5. 证明定理 5.
证明: 仅证明 (iv). 设 $A,B$ 为两凸子集, 则对 $$\bex \forall\ x+y,u+v\in A+B, \eex$$ 有 $$\beex \bea a(x+y)+(1-a)(u+v)&=[ax+(1-a)u]+[ay+(1-a)v]\\ &\in A+B\quad\sex{\forall\ 0\leq a\leq 1}. \eea \eeex$$
6. 证明定理 6.
7. 证明定理 7.
证明: 设 $$\bex F\ni x=\cfrac{y+z}{2},\quad y,z\in K. \eex$$ 由 $E$ 是 $K$ 的极子集知 $$\bex y,z\in E. \eex$$ 又由 $F$ 是 $E$ 的极子集知 $$\bex y,z\in F. \eex$$
8. 证明定理 8.
证明: 若 ${\bf M}^{-1}(E)\neq \vno$, 则由习题 5 (ix), ${\bf M}^{-1}( E)$ 是 ${\bf M}^{-1}(K)$ 的非空凸集. 设 $$\bex {\bf M}^{-1}(E)\ni x=\cfrac{y+z}{2},\quad y,z\in{\bf M}^{-1}(K), \eex$$ 则 $$\bex E\ni {\bf M}(x)=\cfrac{{\bf M}(y)+{\bf M}(z)}{2},\quad {\bf M}(x),{\bf M}(y)\in K. \eex$$ 由 $E$ 是 $K$ 的极子集知 $$\bex {\bf M}(y),{\bf M}(z)\in E, \eex$$ 而 $$\bex y,z\in {\bf M}^{-1}(E). \eex$$
9. 举例说明极子集在线性映射下的象未必是象的极子集.
解答: 取 $X=\bbR^2$, $U=\bbR$; $K$ 为梯形, 其顶点为 $(-1,0)$, $(2,0)$, $(1,1)$, $(0,1)$; $E$ 为 $K$ 的上底; ${\bf M}:X\to U$ 为 ${\bf M}(x,y)=x$. 则 ${\bf M}(E)=[0,1]$ 不是 ${\bf M}(K)$ 的极子集.
[PeterDLax著泛函分析习题参考解答]第1章 线性空间的更多相关文章
- [PeterDLax著泛函分析习题参考解答]第2章 线性映射
1. 验证两个线性映射的复合仍是线性映射而且满足分配律: $$\bex {\bf M}({\bf N}+{\bf K})={\bf M}{\bf N}+{\bf M}{\bf K},\quad ({\ ...
- [PeterDLax著泛函分析习题参考解答]第6章 Hilbert 空间
1. 证明满足 (6) 的范数可以由一个内积诱导出来. 这个结论属于 von Neumann. 证明: 以实线性空间为例, 取内积 $$\bex \sex{x,y}=\cfrac{1}{4}[\sen ...
- [PeterDLax著泛函分析习题参考解答]第5章 赋范线性空间
1. (a) 证明 (6) 定义了范数. (b) 证明它们在 (5) 式意义下是等价的. 证明: $$\bex |(z,u)|'\leq |(z,u)|\leq 2|(z,u)|',\quad |(z ...
- [PeterDLax著泛函分析习题参考解答]第7章 Hilbert 空间结果的应用
1. 对测度是 $\sigma$ 有限的情形证明 Radon-Nikodym 定理. 证明: 设 $\mu,\nu$ 均为 $\sigma$ 有限的非负测度, 则存在分割 $$\bex X=\cup_ ...
- [PeterDLax著泛函分析习题参考解答]第4章 Hahn-Bananch 定理的应用
1. 证明: 若在 4.1 节中取 $S=\sed{\mbox{正整数}}$, $Y$ 是收敛数列构成的空间, $\ell$ 由 (14) 式定义, 则由 (4) 给出的 $p$ 和由 (11) 定义 ...
- [PeterDLax著泛函分析习题参考解答]第3章 Hahn-Banach 定理
1. 证明 $(10'$). 证明: $\ra$: 由 $p_K(x)<1$ 知 $$\bex \exists\ 0<a<1,\st \cfrac{x}{a}\in K. \eex$ ...
- [物理学与PDEs]第1章习题参考解答
[物理学与PDEs]第1章习题1 无限长直线的电场强度与电势 [物理学与PDEs]第1章习题2 均匀带电球面的电场强度与电势 [物理学与PDEs]第1章习题3 常场强下电势的定解问题 [物理学与PDE ...
- [物理学与PDEs]第2章习题参考解答
[物理学与PDEs]第2章习题1 无旋时的 Euler 方程 [物理学与PDEs]第2章习题2 质量力有势时的能量方程 [物理学与PDEs]第2章习题3 Laplace 方程的 Neumann 问题 ...
- [物理学与PDEs]第3章习题参考解答
[物理学与PDEs]第3章习题1 只有一个非零分量的磁场 [物理学与PDEs]第3章习题2 仅受重力作用的定常不可压流理想流体沿沿流线的一个守恒量 [物理学与PDEs]第3章习题3电磁场的矢势在 Lo ...
随机推荐
- Prism for WPF 第一讲 Event机制
在本篇文章中主要讲解在Prism中模块与模块之间事件关联的机制.在这里牵涉到三个名词:事件定义,事件发布,事件订阅. 第一:事件定义 在公共类库中定义事件. ①没有参数事件 public class ...
- mysql 根据某个字段将多条记录的某个字段拼接成一个字段
未合并情况 SELECT a.id, b.name AS "role" FROM sys_user a INNER JOIN sys_user_role c ON a.id=c.u ...
- CentOS7设置IP地址
root权限下cd到/etc/sysconfig/network-scripts, vi ifcig-em1 TYPE=Ethernet BOOTPROTP=static NAME=em1 UUID= ...
- Unix环境高级编程学习笔记——fcntl
写这篇文正主要是为了介绍下fcntl,并将我自己在学习过程中的一些理解写下来,不一定那么官方,也有错误,希望指正,共同进步- fcntl: 一个修改一打开文件的性质的函数.基本的格式是 int fcn ...
- 检测 IE 版本 in Javascript
点击打开链接http://stackoverflow.com/questions/10964966/detect-ie-version-in-javascript <!doctype html& ...
- wamp集成环境php多版本搭建(php5.5,php5.6,php7.0.6)
首先需要搭建的版本可以在php官方(http://windows.php.net/download)下载对应的版本,X86对应的是32位操作系统,X64对应的是64位操作系统. 1:下载 ...
- jsonp 使用示例
客户端: <!DOCTYPE html><html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml"><head>< ...
- web前端工程师必须掌握的localStorage(二)
最近工作太忙了,回来后就很晚了,因为红牛喝太多都不想睡觉了(公司免费给的,好多箱o(╯□╰)o),睡不着就想着逛逛博客园,本人最近忙着做一个仿原生app的singlePage应用,话说最近后台那帮兄弟 ...
- jquery验证网址格式
在input中输入网址,用jquery验证输入网址是否正确 <input type="text" name="input-web" class=" ...
- 浏览器中输入URL到返回页面的全过程
第一步,解析域名,找到主机IP (1)浏览器会缓存DNS一段时间,一般2-30分钟不等.如果有缓存,直接返回IP,否则下一步. (2)缓存中无法找到IP,浏览器会进行一个系统调用,查询hosts文件. ...