BNUOJ 34985 Elegant String 2014北京邀请赛E题 矩阵快速幂

题目链接：http://acm.bnu.edu.cn/bnuoj/problem_show.php?pid=34985

题目大意：问n长度的串用0~k的数字去填，有多少个串保证任意子串中不包含0~k的某一个全排列

邀请赛上A的较多的一道题，比赛的时候死活想不出，回来之后突然就想通了，简直..... = =!

解题思路：

对于所有串我们都只考虑末尾最多有多少位能构成全排列的一部分（用l来表示），即最多有多少位不重复的数字出现，将问题转化为求末尾最多有k位能构成全排列的串的总数量

假设k为5，有一个串……0023，不难发现l=3

我们以这个串出发在之后添上数字，假如我们添的是0、2、3中的一个：

　　0: ……00230 (l=3)

　　2: ……00232 (l=2)

　　3: ……00233 (l=1)

假如是l长度中没有出现过的数字

　　则构成新串 ……00231 ……00234  ……00235 l=4

最后可以得到规律：总长度为n串中 l=m的串的数量 x1 得到 总长度为n+1的串中 l=(1,2,……,m)的串

　　　　　　　　　总长度为n串中 l=m的串的数量 x(k-m+2) 得到 总长度为n+1的串中 l=m+1的串

用mar[i][j]来表示由l=j的串得到l=i的串所以

mar可以表示为（以k=5为例）

1　　1　　1　　1　　1

5　　1　　1　　1　　1

0　　4　　1　　1　　1

0　　0　　3　　1　　1

0　　0　　0　　2　　1

通过该矩阵我们可以由长度为n的串数量可以推出长度为n+1的串的数量：

于是我们可以通过长度1的串最终得到总长度为n的串，　　n=1时只有l最多为1 总数为 k+1

快速幂求得该矩阵的(n-1)次幂，该矩阵的第一列相加乘（k+1）即为最终结果

 #include <cmath>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 using namespace std;
 #define FFF 20140518
 struct node{
     long long mar[][];
 }sor;
 void init(int k)
 {
     memset(sor.mar,,sizeof(sor.mar));
     for(int i=;i<=k;i++)
     {
         for(int j=i;j<=k;j++)
         {
             sor.mar[i][j]=;
         }
         if(i>)
         {
             sor.mar[i][i-]=k-i+;
         }
     }
 }
 node marMulti(node a,node b,int k)
 {
     node ret;
     memset(ret.mar,,sizeof(ret.mar));
     for(int i=;i<=k;i++)
     {
         for(int j=;j<=k;j++)
         {
             for(int l=;l<=k;l++)
             {
                 ret.mar[i][j]+=(a.mar[i][l]*b.mar[l][j])%FFF;
                 ret.mar[i][j]%=FFF;
             }
         }
     }
     return ret;
 }
 node matrixPow(long long x,int k)
 {
     node now=sor;
     node ret;
     memset(ret.mar,,sizeof(ret.mar));
     for(int i=;i<=k;i++)
         ret.mar[i][i]=;
     while(x)
     {
         if(x%==)
             ret=marMulti(now,ret,k);
         x/=;
         now=marMulti(now,now,k);
     }
     return ret;
 }
 void print(node sor,int k)
 {
     for(int i=;i<=k;i++)
     {
         for(int j=;j<=k;j++)
         {
             cout<<sor.mar[i][j]<<' ';
         }
         cout<<endl;
     }
 }
 int main()
 {
     int keng,k,Case=;
     long long n;
     scanf("%d",&keng);
     while(keng--)
     {
         scanf("%lld%d",&n,&k);
         init(k);
         node ret=matrixPow(n-,k);
         int ans=;
         // print(sor,k);
         // print(ret,k);
         for(int i=;i<=k;i++)
         {
             ans+=(ret.mar[i][]*(k+))%FFF;
             ans%=FFF;
         }
         printf("Case #%d: %d\n",Case++,ans);
     }
     return ;
 }