Purfer序列
我们经常干的一件事是把数变为关于图的问题来解决,那么久了未免不会有这个疑问:能不能把图变成数来解决问题?
所以有了这个purfer数列。
介绍一下这个数列有什么用(或者说有什么性质):
- 能够将一棵无根树转化成一个数列,且按这种编码数列具有唯一性
2.给定一purfer数列,可以还原出原来的无根树,且有且仅有一种方法。
那么这个数列是怎么形成的呢?下面来大概叙述一下整个过程:
(1) 生成数列:
选取此时树上编号最小的叶子节点,删除此节点且将此节点所连接的节点加入数列末端
不断的重复上述操作,直到只剩两个节点时停止该操作。
(所以一个purfer序列的长度应为n-2)
(2)还原无根树:
设集合A = {1,2,3,...... ,n-1, n}
设purfer数列 a1, a2, ...... , an
顺次选出purfer数列首位元素,然后在集合A中选出另一元素与它相连边
选出元素需满足一下特点:
① 该元素此时不能在purfer序列中
② 该元素此时应在集合A中
③ 满足以上两条件的最小元素
不断进行以上操作,知道purfer数列为空,此时A集合必然存在两个元素,最后将这两个元素连接起来,则此无根树还原完毕。
具体样例如下:
purfer编码为 1 2 2
那么来思考几个问题:
(1) 为什么此方法能够还原?
我认为可以这样想,首先(用上面的例子来说),你是先删除了一个点3,然后再把这个点所连的一个点1加入purfer的。那么显然你这个点3一定不在是、此时的purfer中,对吧?同样的道理,无论什么时候,你purfer的首位所连接的数一定不在后面的队列中(因为你要先删除他,然后再把这个数所连接的数加入purfer),而由于我们每次都找的是编号最小的数,所以我们把有可能的数中找出最小数就好了,就能够唯一确定了。而由于每个数最多只能被删一次,所以A集合中的数用完之后就要删去,他也只能被用一次。所以purfer中一共有n-2个数,就有n-2次操作,就连了n-2条边。而你最后仅剩下的两个数有且仅有一种选择就是连最后一条边,所以综上就是n个点,连接n-1条边,这必然就是一棵树了。
(2)这样还原的一个特殊性质:(虽然说是无根树,我们假设它初具树形233,就是假装有儿子和父亲节点)
有观察可以得到,如果说一个点本来就是叶节点,那么他就悲剧了,他一来就直接被删了,根本就没有机会进入purfer;而如果像图中的节点1就要稍稍幸运一些,他要在节点3被删了以后才被删,而节点3被删时他就可以进入一次purfer数列;那么一个点什么时候会被删呢? 当然是他是叶子节点的时候,也就是度为1的时候;那么怎么才能成为叶子节点?很简单,你的周围所连接的其他儿子点都被解决之后你就成为了叶子节点;换句话说,假设你周围有n个儿子节点,那么你就有n次进入purfer的机会,再进一步就可以得到一个很重要的结论:一个点的度数 = 它在purfer中出现的次数 + 1(它和父节点的连边)
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