BZOJ1079 [SCOI2008]着色方案[组合计数DP]

$有a_{1}个1,a_{2}个2,...,a_{n}个n(n<=15,a_{n}<=5),求排成一列相邻位不相同的方案数。$

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关于这题的教训记录：

• 学会对于复杂的影响分开计，善于发现整体变化，用整体法（没错就是和物理那种差不多）。
• 推dp方程时怕边界问题不好处理时可以采用向前推的方法，就如$f[x]=f[i]+...$，可以（部分）避免越界。

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我好菜啊。。除了个dp状态设计对了其他什么都没写上来qwq。基于每次插入时数字的数量都不固定，所以我可以设法将其固定下来。按顺序依次插入1,2,3,...,n即可。因为我是要统计相同不相邻方案，转移的时候肯定是插空啊，所以再设计一维表示有多少个相邻相同的($f[i][j]$)，这样就好做了。然而我在这里卡主了。。因为我看数据每个数字最多5个嘛，分类大力讨论一下的事情。然而讨论到3的时候我已经崩溃掉了。觉得写法有问题，但是又不知道怎么简化。

磕了几小时没出来QwQ，翻了题解%%%，发现还是思路狭窄了啊。每个数k个，因为要往空挡里面插，不算几张合在一起的话，分开的情况是很容易想的。而我有连续数字插入的时候，可以枚举其分组。分k组的时候，这些牌单独来看是会产生出新的$n-k$个连续位的。再看我插入时，把连续数字当做整体（就是看成一个数字），插入之前的连续位空挡相当于把他填起来了，否则无影响。所以枚举插到数字$i$,枚举之前有$j$空位连续数字，当下分为$k$组，插到之前$j$个空位里的有$l$个，之前方案$f[i][j]$，$j$个空位中选出来$l$个是$C_{j}^{l}$，剩下的非连续数字的空位还要再选$C_{sum[i-1]+1-j}^{k-l}$个，这些空位里去填$k$组，问题转为一排数字划为k组的不同方案，是经典隔板问题，有$C_{a[i]-1}^{k-1}$种。所以dp方程就出来啦。见code。可以感性认识这是不重不漏的。（？？！）

可能我组合计数还是太差了啊。几星期后到数学专题去好好补一发算了。。

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 #include<queue>
 #define dbg(x) cerr<<#x<<" = "<<x<<endl
 #define dddbg(x,y,z) cerr<<#x<<" = "<<x<<"   "<<#y<<" = "<<y<<"   "<<#z<<" = "<<z<<endl
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 typedef pair<int,int> pii;
 template<typename T>inline char MIN(T&A,T B){return A>B?A=B,:;}
 template<typename T>inline char MAX(T&A,T B){return A<B?A=B,:;}
 template<typename T>inline T _min(T A,T B){return A<B?A:B;}
 template<typename T>inline T _max(T A,T B){return A>B?A:B;}
 template<typename T>inline T read(T&x){
     x=;int f=;char c;while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')f=;
     while(isdigit(c))x=x*+(c&),c=getchar();return f?x=-x:x;
 }
 const ll P=1e9+;
 int f[][],fac[],C[][];
 int T,n,s[],sum[];
 inline void inc(int&A,int B){A+=B;A>=P?A-=P:;}
 inline void preprocess(){
     C[][]=;
     for(register int i=;i<=;++i){C[i][]=;for(register int j=;j<=;++j)C[i][j]=(0ll+C[i-][j]+C[i-][j-])%P;}
 }

 int main(){//freopen("test.in","r",stdin);freopen("test.out","w",stdout);
     preprocess();read(n);
     for(register int i=;i<=n;++i)read(s[i]);
     f[][s[]-]=;
     for(register int i=;i<=n;++i)sum[i]=s[i]+sum[i-];
     for(register int i=;i<=n;++i)
         for(register int j=;j<=sum[i-]-i+;++j)
             for(register int k=;k<=s[i];++k)
                 for(register int l=;l<=_min(j,k);++l)
                     inc(f[i][j+s[i]-k-l],f[i-][j]*1ll*C[j][l]%P*C[sum[i-]+-j][k-l]%P*C[s[i]-][k-]%P);
     printf("%d\n",f[n][]);
     return ;
 }

hihocoder扑克牌：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 #include<queue>
 #define dbg(x) cerr<<#x<<" = "<<x<<endl
 #define dddbg(x,y,z) cerr<<#x<<" = "<<x<<"   "<<#y<<" = "<<y<<"   "<<#z<<" = "<<z<<endl
 using namespace std;
 typedef unsigned long long ull;
 typedef pair<int,int> pii;
 template<typename T>inline char MIN(T&A,T B){return A>B?A=B,:;}
 template<typename T>inline char MAX(T&A,T B){return A<B?A=B,:;}
 template<typename T>inline T _min(T A,T B){return A<B?A:B;}
 template<typename T>inline T _max(T A,T B){return A>B?A:B;}
 template<typename T>inline T read(T&x){
     x=;int f=;char c;while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')f=;
     while(isdigit(c))x=x*+(c&),c=getchar();return f?x=-x:x;
 }
 const int N=;
 ull f[N][],fac[],C[][];
 int T,n,cnt[N],s[N],sum[N];
 char ch[];

 int main(){//freopen("test.in","r",stdin);freopen("test.out","w",stdout);
     read(T);fac[]=,fac[]=,fac[]=,fac[]=;C[][]=;
     for(register int i=;i<=;++i){
         C[i][]=;
         for(register int j=;j<=;++j)C[i][j]=C[i-][j]+C[i-][j-];
     }
     for(register int o=;o<=T;++o){
         read(n);memset(cnt,,sizeof cnt);
         for(register int i=;i<=n;++i){
             scanf("%s",ch+);int x=ch[]&;
             if(ch[]=='A')x=;else if(ch[]=='T')x=;else if(ch[]=='J')x=;else if(ch[]=='Q')x=;else if(ch[]=='K')x=;
             ++cnt[x];
         }n=;
         for(register int i=;i<=;++i)if(cnt[i])s[++n]=cnt[i],sum[n]=s[n]+sum[n-];
         memset(f,,sizeof f);f[][s[]-]=;
         for(register int i=;i<=n;++i)
             for(register int j=;j<=sum[i-]-i+;++j)
                 for(register int k=;k<=s[i];++k)
                     for(register int l=;l<=_min(j,k);++l)
                         f[i][j+s[i]-k-l]+=f[i-][j]*C[j][l]*C[sum[i-]+-j][k-l]*C[s[i]-][k-];
         for(register int i=;i<=n;++i)f[n][]*=fac[s[i]];
         printf("Case #%d: %llu\n",o,f[n][]);
     }
     return ;
 }