有限元边界 Dirichlet 条件处理

参考自百度文档，这里只考虑 Dirichlet 边界条件情况。

有限元法基本方法就是是构造线性方程组

\[\begin{equation}
Au = f
\end{equation}\]

进行求解。其中系数矩阵 \(A\) 表示未知数 \(u\) 各个单位分量对各个方程影响，右端项 \(f\) 则为已知。

将 Dirichlet 边界条件耦合入线性方程组，基本思路就是将 \(u_i = u_D\) 代替相应方程。这种情况下，有两种方法可以采用：

1. 置大数法
2. 划0置1法

其中划0置1是精确方法，而置大数法则是近似方法。但是就计算而言，置大数法计算较为简便，仅介绍此种方法。

置大数法

假设位置数第 i 个分量为已知 \(u_D\)，按照如下方法修改对应的系数矩阵\(A\)与右端项\(f\)

1. 将 \(u_i\) 对应系数换为一个极大值M，如 1e8
2. 将对应右端项分量替换为 \(u_D \times M\)
3. 其余系数保留不变

此方法处理只需修改两个系数即可，简单方便，计算结果为近似值，但是仍推荐采用。