洛谷 P5644 - [PKUWC2018]猎人杀（分治+NTT）

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很久之前（2020 年）就听说过这题了，这么经典的题怎么能只听说而亲自做一遍呢

首先注意到每次开枪打死一个猎人之后，打死其他猎人概率的分母就会发生变化，这将使我们维护起来非常棘手，因此我们考虑做一个转化：每次随便从全集中选出一个猎人（不管死的活的），如果它是活的就将它射死。假设现在死了的猎人的 \(w_i\) 值之和为 \(T\)，所有猎人的 \(w_i\) 值之和为 \(U\)，那么精通无穷级数的同学应该不难推出，对于某个还活着的猎人 \(j\)，射到的第一个活着的猎人是 \(j\) 的概率就是 \(\sum\limits_{i=0}^{\infty}(\dfrac{T}{U})^i·\dfrac{w_j}{U}=\dfrac{U}{U-T}·\dfrac{w_j}{U}=\dfrac{w_j}{U-T}\)，刚好就是题目中的式子。

这样一来我们就大可不必考虑“每一枪射到的猎人必须是活的”这个限制了，接下来考虑原问题。考虑容斥（没想到*1），我们考虑钦定一个集合 \(S(1\notin S)\) 并令 \(S\) 中的猎人必须在 \(1\) 之后死，我们记这样的概率为 \(p(S)\)，那么答案显然就是 \(\sum\limits_{1\notin S}p(S)(-1)^{|S|}\)。考虑这个 \(p(S)\) 是个什么东西，按照上面的转化，\(S\) 中的猎人在 \(1\) 之后死即意味着在打死 \(1\) 之前选择的猎人都不在 \(S\) 中，那么我们可以枚举打死 \(1\) 之前开了多少枪，设这个数是 \(c\)，方便起见我们假设 \(X=\sum\limits_{x\in S}w_x\)，那么可列出方程 \(p(S)=\sum\limits_{c=0}^{\infty}(\dfrac{U-X-w_1}{U})^c·\dfrac{w_1}{U}=\dfrac{U}{X+w_1}·\dfrac{w_1}{U}=\dfrac{w_1}{X+w_1}\)。

琢磨清楚 \(p(S)\) 是个什么东西之后，最后一步就是计算上面那个式子了。暴力枚举 \(S\) 显然 T 飞，想也别想了。不过一个 observation 是 \(p(S)\) 的表达式只与 \(S\) 中所有元素的 \(w\) 值之和 \(X\) 有关，因此我们考虑枚举 \(X\)，即 \(ans=\sum\limits_{X}\dfrac{w_1}{X+w_1}\sum\limits_{S}(-1)^{|S|}[\sum\limits_{x\in S}w_x=X]\)，也就是说如果我们能求出所有满足 \(\sum\limits_{x\in S}w_x=X\) 的 \((-1)^{|S|}\) 之和那这题就搞定了。这东西怎么求呢？这东西看起来好像有点眼熟，\(w_x\) 之和等于 \(X\) 可以看作……系数之和等于 \(X\)，对！生成函数（想不到 *2，u1s1 中考结束后 wtm 简直像个 sb）。我们令 \(F(x)=\prod\limits_{i=2}^n(1-x^{w_i})\)，那么这东西就是 \([x^{X}]F(x)\)，由于 \(\sum\limits_{i=1}^nw_i\le 10^5\)，因此可以分治+NTT（为什么是“分治+NTT”而不是“分治 NTT”呢？因为这里的分治不是 cdq 分治）求出 \(F(x)\)，时间复杂度 \(n\log^2n\)

const int MAXN=1e5;
const int MAXP=1<<18;
const int pr=3;
const int MOD=998244353;
const int ipr=(MOD+1)/3;
int n,a[MAXN+5];
int qpow(int x,int e){
	int ret=1;
	for(;e;e>>=1,x=1ll*x*x%MOD) if(e&1) ret=1ll*ret*x%MOD;
	return ret;
}
int rev[MAXP+5];
void NTT(vector<int> &a,int len,int type){
	int lg=31-__builtin_clz(len);
	for(int i=0;i<len;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<lg-1);
	for(int i=0;i<len;i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int i=2;i<=len;i<<=1){
		int W=qpow((type<0)?ipr:pr,(MOD-1)/i);
		for(int j=0;j<len;j+=i){
			for(int k=0,w=1;k<(i>>1);k++,w=1ll*w*W%MOD){
				int X=a[j+k],Y=1ll*a[(i>>1)+j+k]*w%MOD;
				a[j+k]=(X+Y)%MOD;a[(i>>1)+j+k]=(X-Y+MOD)%MOD;
			}
		}
	}
	if(!~type){
		int ivn=qpow(len,MOD-2);
		for(int i=0;i<len;i++) a[i]=1ll*a[i]*ivn%MOD;
	}
}
vector<int> conv(vector<int> a,vector<int> b,int len){
	int LEN=1;while(LEN<a.size()+b.size()) LEN<<=1;
	a.resize(LEN,0);b.resize(LEN,0);NTT(a,LEN,1);NTT(b,LEN,1);
	for(int i=0;i<LEN;i++) a[i]=1ll*a[i]*b[i]%MOD;
	NTT(a,LEN,-1);while(a.size()>len) a.pop_back();return a;
}
vector<int> solve(int l,int r){
	if(l==r){
		vector<int> res(a[l]+1,0);
		res[a[l]]=MOD-(res[0]=1);
		return res;
	} int mid=l+r>>1;
	vector<int> L=solve(l,mid);
	vector<int> R=solve(mid+1,r);
	return conv(L,R,L.size()+R.size()-1);
}
int main(){
	scanf("%d",&n);if(n==1) return puts("1")&0;int sum=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),sum+=!!(i^1)*a[i];
	vector<int> res=solve(2,n);int ans=0;
	for(int i=0;i<=sum;i++) ans=(ans+1ll*a[1]*qpow(a[1]+i,MOD-2)%MOD*res[i])%MOD;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}