洛谷 P3688 - [ZJOI2017]树状数组（二维线段树+标记永久化）

题面传送门

首先学过树状数组的应该都知道，将树状数组方向写反等价于前缀和 \(\to\) 后缀和，因此题目中伪代码的区间求和实质上是 \(sum[l-1...n]-sum[r...n]=sum[l-1...r-1]\)，我们要求 \(sum[l...r]=sum[l-1...r-1]\) 的概率，等价于求 \(a_{l-1}=a_r\) 的概率。

因此我们可将题目转化为，每次从 \([l,r]\) 中随机选择一个数将其状态翻转，并询问 \(a_x=a_y\) 的概率。

这个可以通过二维线段树解决。建一棵二维线段树，第 \(x\) 行第 \(y\) 个位置上的值 \(p_{x,y}\) 表示 \(a_x=a_y\) 的概率。考虑一次修改 \([l,r]\) 对 \(p_{i,j}\) 的影响，分三种情况：

• \(i\in [1,l-1],j\in[l,r]\)，\(a_i\) 不会发生变化，\(a_j\) 有 \(p_1=\dfrac{1}{r-l+1}\) 的概率发生变化，故 \(p_{i,j}=(1-p_{i,j})\times p_1+p_{i,j}\times(1-p_1)\)。
• \(i\in [l,r],j\in[l,r]\)，\(a_i,a_j\) 各有 \(\dfrac{1}{r-l+1}\) 的概率发生变化，发生变化的总概率 \(p_2=\dfrac{2}{r-l+1}\)，故 \(p_{i,j}=(1-p_{i,j})\times p_2+p_{i,j}\times(1-p_2)\)。
• \(i\in [l,r],j\in[r+1,n]\)，\(a_j\) 不会发生变化，\(a_i\) 有 \(p_3=\dfrac{1}{r-l+1}\) 的概率发生变化，故 \(p_{i,j}=(1-p_{i,j})\times p_3+p_{i,j}\times(1-p_3)\)。

对于这三种情况，相当于是对二维线段树上一个矩形执行 \(p_{i,j}\leftarrow (1-p_{i,j})\times P+p_{i,j}\times (1-P)\)，这就直接在内层线段树上的区间上打一个 \(P\) 的标记。当合并两个标记 \(P,Q\) 时候，令新的标记 \(R=(1-P)\times Q+(1-Q)\times P\)。由于标记不能下放，因此需要标记永久化，时间复杂度线性二次对数。

当然你可能会有疑惑，上面三种情况中没有考虑 \(i\in [r+1,n],j\in[l,r]\) 的情况，当 \(i=j\) 时候 \(p_{i,j}\) 发生的变化的概率应当为 \(0\)，也不是所谓的 \(\dfrac{2}{r-l+1}\)，为什么算出来的概率还是正确的呢？事实上，我们查询的时候一定有 \(l-1<r\)，因此我们只需维护 \(i<j\) 的 \(p_{i,j}\) 的值即可， 上述写法只不过更方便我们执行二维线段树上的矩形加罢了，不会对算法正确性产生影响。

最后特判 \(l=1\) 的情况，当执行的操作次数为奇数的时候，\(sum[l-1...n]\) 的真实值应当为 \(1\)，而伪代码为了确保不卡入死循环直接返回了 \(0\)，因此若执行的操作次数为奇数，我们要求的实质上是 \(a_{l-1}\ne a_r\) 的概率。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define fill0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define fill1(a) memset(a,-1,sizeof(a))
#define fillbig(a) memset(a,63,sizeof(a))
#define pb push_back
#define ppb pop_back
#define mp make_pair
template<typename T1,typename T2> void chkmin(T1 &x,T2 y){if(x>y) x=y;}
template<typename T1,typename T2> void chkmax(T1 &x,T2 y){if(x<y) x=y;}
typedef pair<int,int> pii;
typedef long long ll;
typedef unsigned int u32;
typedef unsigned long long u64;
namespace fastio{
	#define FILE_SIZE 1<<23
	char rbuf[FILE_SIZE],*p1=rbuf,*p2=rbuf,wbuf[FILE_SIZE],*p3=wbuf;
	inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=rbuf)+fread(rbuf,1,FILE_SIZE,stdin),p1==p2)?-1:*p1++;}
	inline void putc(char x){(*p3++=x);}
	template<typename T> void read(T &x){
		x=0;char c=getchar();T neg=0;
		while(!isdigit(c)) neg|=!(c^'-'),c=getchar();
		while(isdigit(c)) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
		if(neg) x=(~x)+1;
	}
	template<typename T> void recursive_print(T x){if(!x) return;recursive_print(x/10);putc(x%10^48);}
	template<typename T> void print(T x){if(!x) putc('0');if(x<0) putc('-'),x=~x+1;recursive_print(x);}
	void print_final(){fwrite(wbuf,1,p3-wbuf,stdout);}
}
const int MAXN=1e5;
const int MOD=998244353;
int qpow(int x,int e){
	int ret=1;
	for(;e;e>>=1,x=1ll*x*x%MOD) if(e&1) ret=1ll*ret*x%MOD;
	return ret;
}
int n,qu,ncnt=0;
struct node{int ch[2],tag;} s[MAXN*500+5];
int rt[MAXN*4+5];
void modify_in(int &k,int l,int r,int ql,int qr,int p){
	if(!k){k=++ncnt;s[k].tag=1;}
	if(ql<=l&&r<=qr){
		s[k].tag=(1ll*p*s[k].tag+1ll*(1+MOD-p)*(1+MOD-s[k].tag))%MOD;
		return;
	} int mid=l+r>>1;
	if(qr<=mid) modify_in(s[k].ch[0],l,mid,ql,qr,p);
	else if(ql>mid) modify_in(s[k].ch[1],mid+1,r,ql,qr,p);
	else modify_in(s[k].ch[0],l,mid,ql,mid,p),modify_in(s[k].ch[1],mid+1,r,mid+1,qr,p);
}
void modify_out(int k,int l,int r,int ql,int qr,int qx,int qy,int p){
	if(ql<=l&&r<=qr){modify_in(rt[k],1,n,qx,qy,p);return;}
	int mid=l+r>>1;
	if(qr<=mid) modify_out(k<<1,l,mid,ql,qr,qx,qy,p);
	else if(ql>mid) modify_out(k<<1|1,mid+1,r,ql,qr,qx,qy,p);
	else modify_out(k<<1,l,mid,ql,mid,qx,qy,p),modify_out(k<<1|1,mid+1,r,mid+1,qr,qx,qy,p);
}
int query_in(int k,int l,int r,int p){
	if(!k) return 1;if(l==r) return s[k].tag;
	int mid=l+r>>1,pp=(p<=mid)?query_in(s[k].ch[0],l,mid,p):query_in(s[k].ch[1],mid+1,r,p);
	return (1ll*pp*s[k].tag+1ll*(MOD+1-pp)*(MOD+1-s[k].tag))%MOD;
}
int query_out(int k,int l,int r,int p,int q){
	if(l==r) return query_in(rt[k],1,n,q);
	int mid=l+r>>1;
	int p1=(p<=mid)?query_out(k<<1,l,mid,p,q):query_out(k<<1|1,mid+1,r,p,q);
	int p2=query_in(rt[k],1,n,q);
	return (1ll*p1*p2+1ll*(MOD+1-p1)*(MOD+1-p2))%MOD;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&qu);int cnt=0;
	while(qu--){
		int opt,l,r;scanf("%d%d%d",&opt,&l,&r);
		if(opt==1){
			int p=qpow(r-l+1,MOD-2);cnt^=1;
			modify_out(1,0,n,0,l-1,l,r,(MOD+1-p)%MOD);
			if(r^n) modify_out(1,0,n,l,r,r+1,n,(MOD+1-p)%MOD);
			modify_out(1,0,n,l,r,l,r,(MOD+1-2*p%MOD)%MOD);
		} else {
			int ret=query_out(1,0,n,l-1,r);
			if(!(l^1)&&cnt) ret=(MOD+1-ret)%MOD;
			printf("%d\n",ret);
		}
	}
	return 0;
}