CF1513F Swapping Problem(模型转化)

题目描述

You are given 2 arrays a a a and b b b , both of size n n n . You can swap two elements in b b b at most once (or leave it as it is), and you are required to minimize the value $$\sum_{i}|a_{i}-b_{i}|. $$

Find the minimum possible value of this sum.

输入格式

The first line contains a single integer n n n ( 1≤n≤2⋅105 1 \le n \le 2 \cdot 10^5 1≤n≤2⋅105 ).

The second line contains n n n integers a1,a2,…,an a_1, a_2, \ldots, a_n a1,a2,…,an ( 1≤ai≤109 1 \le a_i \le {10^9} 1≤ai≤109 ).

The third line contains n n n integers b1,b2,…,bn b_1, b_2, \ldots, b_n b1,b2,…,bn ( 1≤bi≤109 1 \le b_i \le {10^9} 1≤bi≤109 ).

输出格式

Output the minimum value of ∑i∣ai−bi∣ \sum_{i}|a_{i}-b_{i}| ∑i∣ai−bi∣ .

题意翻译

给定 nnn 和两个长度为 nnn 的数组 a,ba,ba,b，最多交换一次 bbb 中的两个位置的值（可以不交换）。

最小化 ∑i=1n∣ai−bi∣\sum_{i=1}^{n}|a_i-b_i|∑i=1n∣ai−bi∣。

n≤2×105n \le 2\times10^5n≤2×105；ai,bi≤109a_i,b_i\le 10^9ai,bi≤109。

输入输出样例

输入 #1

输出 #1

输入 #2

输出 #2

说明/提示

In the first example, we can swap the first and fifth element in array b b b , so that it becomes [5,2,3,4,1] [ 5, 2, 3, 4, 1 ] [5,2,3,4,1] .

Therefore, the minimum possible value of this sum would be ∣5−5∣+∣4−2∣+∣3−3∣+∣2−4∣+∣1−1∣=4 |5-5| + |4-2| + |3-3| + |2-4| + |1-1| = 4 ∣5−5∣+∣4−2∣+∣3−3∣+∣2−4∣+∣1−1∣=4 .

In the second example, we can swap the first and second elements. So, our answer would be 2 2 2 .

题解

可以很容易的计算出 $ans = \sum_{i=1}^n |a_i-b_i|$ 的值，但是我们需要交换一对，使得 ans 尽量小

假设交换 $i,j$ 这两对，那么此时的答案应该为

\[ans - (|a_i-b_i| + |a_j-b_j|-|a_i-b_j|-|a_j-b_i|)
\]

要找的这两对应该满足

\[|a_i-b_i| + |a_j-b_j|>|a_i-b_j|+|a_j-b_i|
\]

而且前者越大越好，后者越小越好，题目就像是一道二维偏序一样，解决的思路就是先确定一维

看着这满屏的绝对值，自然而然地想到了距离，不妨自己画一下发现，当

\[a_i<b_j<b_i<a_j \\
b_j<a_i<a_j<b_i \\
a_i<b_j<a_j<b_i \\
b_j<a_i<b_i<a_j
\]

上述情况满足时上面的不等式才会成立(当然以上只有 $a_i<b_i$ 的情况，还有四种情况，请读者自己思考)

这样就拥有了降维的理由，我们可以按照 $b$ 排序，这样固定了右端点，根据上述推断可以造成贡献的有

\[|a_j-b_j| \\or\\|b_i-b_j|\\or\\|a_i-a_j|
\]

为了满足区间的要求，需要进一步转化为右端点$\geq$左端点

而根据贪心，固定右端点应该按照 $b$ 升序排列，这样可以满足

\[j>i \\ and\\ b[i]>b[j]
\]

所以要计算的 $|b_j-a_i|$ 由于 $b_j$ 的确定，只要保留之前 $a_i$ 的最小值就可以了

总体算法复杂度 $O(NlogN)$ 为排序的时间

*以上思路请读者自己实现，下面的代码以固定左端点为基础实现的

const int N=3e5+5;

    int n, m, _;

    int i, j, k;

    ll a[N];

    ll b[N];

    struct Node

    {

        ll x, y;

        bool operator<(Node o){

            return x<o.x;

        }

        int tag;

        Node(ll x = 0, ll y = 0, int tag = 0) : x(x), y(y), tag(tag){}

    }p[N];

signed main()

{

    //IOS;

    while(~sd(n)){

        ll ans = 0;

        rep(i, 1, n) sll(a[i]);

        rep(i, 1, n) sll(b[i]), ans += abs(a[i] - b[i]);

        rep(i, 1, n){

            if(a[i] <= b[i]) p[i] = Node(a[i], b[i], 0);

            else p[i] = Node(b[i], a[i], 1);

        }

        sort(p + 1, p + 1 + n);

        ll maxx = 0;

        ll ed[2] = {0, 0};

        rep(i, 1, n){

            ed[p[i].tag] = max(ed[p[i].tag], p[i].y);

            if(!ed[p[i].tag ^ 1]) continue;

            if(p[i].x <= ed[p[i].tag ^ 1]){

                if(p[i].y <= ed[p[i].tag ^ 1]){

                    maxx = max(maxx, p[i].y - p[i].x);

                    continue;

                }

                maxx = max(maxx, ed[p[i].tag ^ 1] - p[i].x);

            }

        }

        pll(ans - maxx * 2);

    }

    //PAUSE;

    return 0;

}