洛谷2805 [NOI2009]植物大战僵尸 （拓扑排序+最小割）

坚决抵制长题面的题目！

首先观察到这个题目中，我们会发现，我们对于原图中的保护关系（一个点右边的点对于这个点也算是保护）

相当于一种依赖。

那么不难看出这个题实际上是一个最大权闭合子图模型。

我们直接对于权值为负数的边，\(S\rightarrow now\)，流量是\(-a[i][j]\)，表示打掉他要花这么多的代价。

对于权值为正的边，\(now \rightarrow T\) ，流量是\(a[i][j]\)，表示如果割掉这个边，表示放弃他的收益。

（这里之所以\(S和T\)不能反过来，因为我们跑最小割的时候，是要保证S到T不连通，所以你要让负的权值与S相连，才会让依赖关系有意义）

对于每个点，向他保护的点连边，边权为\(inf\)。表示这个关系不能打破。

同时一个点右边的点，向这个点连边，流量也是\(inf\)，因为右边的点要比左边的点先被打。

最后的答案就是\(正权值的sum - 最小割\)（总的收益，减去花费和舍去的。）

那么建出来图，我们会发现其实这个是有问题的。

因为可能存在环的情况。

（\(A保护B，B保护A\)）

那么应该怎么办呢？

我们发现如果存在一个环，那么环能保护到的点，以及再往后的点，都是无敌的！

所以合法的点，就是从起点开始，找到所有的满足起点到这个点的所有路径都不经过环的 点。

那么这个可以通过拓扑排序来实现。

qwq

只需要一开始先把所有的依赖关系，跑一遍拓扑排序。

然后选出来有效的点，再建图就ok

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#define mk make_pair
#define ll long long
#define pb push_back
using namespace std;
inline int read()
{
  int x=0,f=1;char ch=getchar();
  while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
  while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
  return x*f;
}
const int maxn = 3010;
const int maxm = 2e6+1e2;
const int inf = 1e9;
int n,m,cnt=1;
int point[maxn],nxt[maxm],to[maxm],val[maxm];
int h[maxn],in[maxn];
int s,t;
int a[maxn][maxn];
int sum;
int num;
int dfn[maxn];
int tag[maxn];
vector<int> v[maxn];
void init()
{
	cnt=1;
	memset(point,0,sizeof(point));
	memset(in,0,sizeof(in));
}
void add(int x,int y)
{
	nxt[++cnt]=point[x];
	to[cnt]=y;
	point[x]=cnt;
	in[y]++;
}
void addedge(int x,int y,int w)
{
	nxt[++cnt]=point[x];
	to[cnt]=y;
	val[cnt]=w;
	point[x]=cnt;
}
void insert(int x,int y,int w)
{
	addedge(x,y,w);
	addedge(y,x,0);
}
queue<int> q;
bool bfs(int s)
{
	memset(h,-1,sizeof(h));
	h[s]=0;
	q.push(s);
	while (!q.empty())
	{
		int x = q.front();
		q.pop();
		for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
		{
			int p=to[i];
			if (h[p]==-1 && val[i]>0)
			{
				h[p]=h[x]+1;
				q.push(p);
			}
		}
	}
	if (h[t]==-1) return false;
	return true;
}
int dfs(int x,int low)
{
    if (x==t || low==0) return low;
    int totflow=0;
    for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
    {
    	int p = to[i];
    	if (h[p]==h[x]+1 && val[i]>0)
    	{
    		int tmp = dfs(p,min(low,val[i]));
    		val[i]-=tmp;
    		val[i^1]+=tmp;
    		low-=tmp;
    		totflow+=tmp;
    		if (low==0) return totflow;
		}
	}
	if (low>0) h[x]=-1;
	return totflow;
}
int dinic()
{
	int ans=0;
	while (bfs(s))
	{
		ans=ans+dfs(s,inf);
	}
	return ans;
}
int getnum(int x,int y)
{
	return (x-1)*m+y;
}
void tpsort()
{
	while (!q.empty()) q.pop();
	for (int i=1;i<=num;i++)
	{
		if (!in[i]) q.push(i),tag[i]=1,dfn[i]=1;
	}
	while (!q.empty())
	{
		int x = q.front();
		q.pop();
		for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
		{
			int p=to[i];
			in[p]--;
			if (!in[p])
			{
				dfn[p]=dfn[x]+1;
				q.push(p);
				tag[p]=1;
			}
		}
	}
}
int main()
{
  n=read(),m=read();
  num=n*m;
  for (int i=1;i<=n;i++)
    for (int j=1;j<=m;j++)
    {
    	a[i][j]=read();
        int num = read();
        for (int k=1;k<=num;k++)
        {
        	int x=read(),y=read();
        	x++,y++;
        	v[getnum(i,j)].pb(getnum(x,y));
        	add(getnum(i,j),getnum(x,y));
		}
	    if (j!=m) add(getnum(i,j+1),getnum(i,j));
	}
  tpsort();
  init();
  s=maxn-10;
  t=s+1;
  for (int i=1;i<=n;i++)
    for (int j=1;j<=m;j++)
    {
    	int now=getnum(i,j);
    	if(!tag[now]) continue;
    	if(a[i][j]>0) sum+=a[i][j];
    	for (int k=0;k<v[now].size();k++)
    	  if (tag[v[now][k]]) insert(now,v[now][k],inf);
    	if (a[i][j]>0) insert(now,t,a[i][j]);
    	else insert(s,now,-a[i][j]);
	}
  for (int i=1;i<=n;i++)
  {
  	 for (int j=1;j<=m;j++)
  	 {
  	 	int now = getnum(i,j);
  	 	int ri  = getnum(i,j+1);
  	 	if (j==m) continue;
  	 	if (!tag[now] || !tag[ri]) continue;
  	 	if (dfn[ri]>dfn[now]) swap(now,ri);
  	 	insert(ri,now,inf);
	 }
  }
  cout<<sum-dinic();
  return 0;
}