Solution Set - 《赏竹而格之》

1.「GXOI / GZOI 2019」「洛谷 P5304」旅行者

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  经典二进制分组，没啥好说的。

2. 「SDOI 2019」「洛谷 P5361」热闹的聚会与尴尬的聚会

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  随便拓扑一发可以求到最大的 \(p\)，进而得到 \(q\) 的目标值。我一看，精确求 \(q\) 是 NP-Hard？！好的我们 std::shuffle 一发依次选……我焯它过了？

  确定性算法：注意到 \((p+1)(q+1)\ge n+1\)，我们每次取 \(\arg\min\{d(u)\}\)，将它和它的邻接点删掉，尝试构造独立集，同时用当前的 \(\min\{d(u)\}\) 和对应的图更新 \(q\) 度图，然后发现可行√

  如果实现随意都是 \(\mathcal O(Tm\log m)\) 的。

3. 「LibreOJ NOI Round #1」「LOJ #508」失控的未来交通工具

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  我卡得比较久的地方是第一步转化的先入为主：觉得这个和同余最短路相关，继而想动态维护最短路之类的鬼东西……

  图非常不可做，一般我们选择将路径特殊化：变成树边 + 环，但恼人的是这个“环”似乎并不独立于“路径”，我们必须先走到环上的点才能进入环。联系经典的异或路径问题，可以尝试一步构造，让环仅依赖于连通块存在：若想要加入一个环，我们从路径上一点从任意路径走向环，绕一圈，然后在这“任意路径”上往返 \(m\) 次即可。显然我们只需要关心所有环长的 \(\gcd\)，并查集记录这一信息。

  对于询问，可以转化成求 \(gx+my=\cdots\) 的整数解问题，虽然数学计算的 corner cases 很多但写题解就不重要了√ 复杂度是 \(\mathcal O(q\log V)\)。