[USACO18DEC]The Cow Gathering P

首先可以思考一下每次能删去的点有什么性质。

不难发现，每次能删去的点都是入度恰好为 \(1\) 的那些点（包括 \(a_i \rightarrow b_i\) 的有向边）。 换句话说，每次能删去的点既要是树上的叶子节点，并且不会被任意一条有向边 \(a_i \rightarrow b_i\) 指向。那么再来思考一下每个点能否走后离开。

因为 \(i\) 号点只能最后离开，那么我们将 \(i\) 看作这课树的根（因为每次只能走叶子）。你会发现如果 \(i\) 不能最后走当前仅当会存在一条路径（走有向边） \(x \rightarrow y\) 使得 \(y\) 是 \(x\) 子树中的点，于是我们单次判断就能做到 \(O(nm)\) 了。那么这个判定条件有没有更为简单的描述呢？其实是存在的，你会发现如果我们将所有树边从儿子指向父亲，那么 \(i\) 不能最后走当且仅当这张有向图存在着一个环。于是这样单次判断的复杂度就能做到 \(O(n + m)\) 了。但这样的复杂度还不够，我们可能需要换一种方式思考。

既然每次判断点不方便，我们能否考虑每条有向边对每个点的影响呢？事实上是可以的，不难发现对于任意一条有向边 \(x \rightarrow y\)，在以 \(y\) 为根时以 \(x\) 为根的子树内所有点为根时 \(x \rightarrow y\) 就会在树上形成一个环，那么这些点都是不能最后删除的。那么我们怎么找到这些点呢？因为我们显然不可能每次都换根，可以先钦定 \(1\) 为树根。那么你会发现存在两种情况 \(y\) 为 \(x\) 的祖先时，令 \(f\) 为 \(x \rightarrow y\) 这条链上 \(y\) 的儿子（可以 \(O(\log n)\) 倍增求出，在 [USACO19JAN]Exercise Route P 中提到），那么这些点就会是整棵树除了以 \(f\) 为根的子树内的点。那么我们在根以及 \(f\) 上打标记差分即可。对于其他情况，这些点就会是以 \(x\) 为根的子树内的点，直接打标记即可。最终我们树上差分跑一边 \(dfs\) 即可。

这样就做完了吗？事实上并没有，你会发现你忽略了有向边之间的影响。那么怎样的情况会对答案有影响呢？当且仅当形成了一条跨子树的路径 \(x \rightarrow \cdots \rightarrow y\) 其中 \(y\) 为 \(x\) 子树内的点，并且仔细分析你会发现，如果出现这种情况那么整张图是不存在这样的删除序列的。那么判掉是否对答案有贡献只需判断这张图是否有解即可，直接拓扑排序每次加入度数为 \(1\) 的点，最终如果存在没有入队的点就无解。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i, l, r) for (int i = l; i <= r; ++i)
#define dep(i, l, r) for (int i = r; i >= l; --i)
#define Next(i, u) for (int i = h[u]; i; i = e[i].next)
const int N = 100000 + 5;
const int M = 20 + 5;
struct edge {
	int v, next;
}e[N * 3];
bool book[N];
int n, m, u, v, tot, cnt, x[N], y[N], d[N], h[N], c[N], sz[N], dfn[N], dep[N], ans[N], f[N][M];
queue <int> Q;
int read() {
	char c; int x = 0, f = 1;
	c = getchar();
	while (c > '9' || c < '0') { if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
	while (c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
	return x * f;
}
void add(int u, int v) {
	e[++tot].v = v, e[tot].next = h[u], h[u] = tot, ++d[v];
}
void dfs(int u, int fa){
	f[u][0] = fa, sz[u] = 1, dfn[u] = ++cnt, dep[u] = dep[fa] + 1;
	Next(i, u) {
		int v = e[i].v; if(v == fa) continue;
		dfs(v, u), sz[u] += sz[v];
	}
}
int find(int x, int y) {
	dep(i, 0, 20) if(dep[f[x][i]] > dep[y]) x = f[x][i];
	return x;
}
void calc(int u, int fa, int tmp){
	ans[u] = tmp + c[u];
	Next(i, u) {
		int v = e[i].v; if(v == fa) continue;
		calc(v, u, tmp + c[u]);
	}
}
int main() {
	n = read(), m = read();
	rep(i, 1, n - 1) u = read(), v = read(), add(u, v), add(v, u);
	dfs(1, 0);
	rep(j, 1, 20) rep(i, 1, n) f[i][j] = f[f[i][j - 1]][j - 1];
	rep(i, 1, m) {
		x[i] = u = read(), y[i] = v = read();
		if(dfn[v] >= dfn[u] && dfn[v] <= dfn[u] + sz[u] - 1) ++c[1], --c[find(v, u)];
		else ++c[u];
	}
	calc(1, 0, 0);
	rep(i, 1, m) add(x[i], y[i]);
	rep(i, 1, n) if(d[i] == 1) Q.push(i), book[i] = true;
	while(!Q.empty()) {
		int u = Q.front(); Q.pop();
		Next(i, u) {
			int v = e[i].v; if(book[v]) continue;
			--d[v]; if(d[v] == 1) Q.push(v), book[v] = 1;
		}
	}
	rep(i, 1, n) if(!book[i]) {
		rep(j, 1, n) puts("0");
		return 0;
	}
	rep(i, 1, n) printf(ans[i] > 0 ? "0\n" : "1\n");
	return 0;
}

值得一提的是，判定性或定义型问题一定要去思考判定条件。另外，反向考虑每条边对答案的影响也是非常重要的。当发现自己的做法出现问题或考虑不全的时候，不要慌张，仔细分析看看能否以一种简单的方式解决这些问题。