P7599-[APIO2021]雨林跳跃【二分,倍增,ST表】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P7599

---

题目大意

\(n\)棵树，在某棵树上时可以选择向左右两边第一棵比它高的树跳，现在\(q\)次询问从\([A,B]\)中某个点出发跳到\([C,D]\)中某个点的最少次数。

\(1\leq n\leq 2\times 10^5\)

---

解题思路

考虑到主要的阈值\([B+1,C-1]\)中的最大值，一旦超过了这个值就只需要考虑是否大于\([C,D]\)中的最大值就好了。

那么我们考虑如何选取起点，首先我们显然不能超过\([C,D]\)中的最大值\(mx\)，在这一情况下我们需要找到一个最大的位置小于\(mx\)且在它后面没有比\(mx\)大的数（否则就跳不过去了），这个过程我们用二分加\(ST\)表可以实现。

然后考虑选取起点如何跳跃，首先如果\([B+1,C-1]\)中的最大值\(lim\)远大于起点的话我们肯定是优先考虑跳左右两边高的那个点，这样肯定是最优的。所以我们在不大于\(lim\)的情况下肯定是选取这种跳法。对于这样的跳跃我们处理出一棵树然后在上面倍增即可。

然后当跳到最后一个小于\(lim\)的值时我们有两种方法，一种是继续这样跳此时我们的值大于\(lim\)了可以直接跳过\([B+1,C-1]\)但是需要判断这个值是否小于\(mx\)。（否则就顺便跳过了\([C,D]\)）。

第二种方法是直接一直往右边跳直到到\([C,D]\)段，这个我们的处理方法可以每个点向它右边比它大的第一个点连边，然后\(lim\)肯定在起点到根的路径上，直接用深度减去即可。

记得判无解

时间复杂度\(O(n\log n)\)

---

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=2e5+10,T=18;
int n,q,h[N],p[N],l[N],r[N],lg[N];
int f[N][T],g[N][T],dep[N];
int RMQ(int l,int r){
	if(l>r)return 0;int z=lg[r-l+1];
	return max(f[l][z],f[r-(1<<z)+1][z]);
}
void init(int N,std::vector<int> H) {
	n=N;h[0]=n+1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		h[i]=H[i-1],p[h[i]]=i,f[i][0]=h[i];
	for(int i=2;i<=n;i++)lg[i]=lg[i>>1]+1;
	for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)
		for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
			f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<j-1)][j-1]);
	for(int i=1;i<=n;i++)l[i]=i-1,r[i]=i+1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int x=p[i];
		r[l[x]]=r[x];l[r[x]]=l[x];
		g[x][0]=(h[l[x]]>h[r[x]])?l[x]:r[x];
	}
	for(int j=1;j<T;j++)
		for(int i=1;i<=n;i++)
			g[i][j]=g[g[i][j-1]][j-1];
	for(int i=n;i>=1;i--)dep[i]=dep[r[i]]+1;
}
int minimum_jumps(int A,int B,int C,int D){
	A++;B++;C++;D++;int l=A,r=B;
	int lim=RMQ(B+1,C-1),zc=RMQ(C,D);
	if(RMQ(B,C-1)>zc)return -1;
	while(l<=r){
		int mid=(l+r)>>1;
		if(RMQ(mid,B)>zc)l=mid+1;
		else r=mid-1;
	}
	int x=p[RMQ(l,B)],ans=0;
	if(h[x]>lim)return 1;
	for(int i=T-1;i>=0;i--)
		if(h[g[x][i]]<lim)x=g[x][i],ans+=(1<<i);
	if(g[x][0]&&h[g[x][0]]<zc&&h[x]<lim)ans+=2;
	else ans+=dep[x]-dep[p[lim]]+1;
	return ans;
}
//vector<int> H;
//int main()
//{
//	scanf("%d%d",&n,&q);
//	for(int i=0,x;i<n;i++)
//		scanf("%d",&x),H.push_back(x);
//	init(n,H);
//	while(q--){
//		int A,B,C,D;
//		scanf("%d%d%d%d",&A,&B,&C,&D);
//		printf("%d\n",minimum_jumps(A,B,C,D));
//	}
//	return 0;
//}