Mole and Abandoned Mine

Mole and Abandoned Mine

n点m条边的无向图,删除第i条边花费c[i],问1到n只有一条路径时所需要的最小花费? \(2\le n\le 15\) 。

我又A掉了一道zzs的题啦！

首先，我们观察1到n只有一条路径时，图是怎么样的。显然是一条1到n的链，链上的每个点都挂了很多子联通块，但这些子连通块互不连通。（exp：对于某些图论题，观察要求的东西，看看能否把它的性质描述出来。放到这道题里就是这条路径的性质。）

然后，用\(f[S][x]\)表示现在选入的点集是S，链的最后一个点是x。那么\(f[S][x]+c[x][u]\rightarrow f[S+\{u\}][u]\)（对应延伸链的长度），\(f[S][x]+p[Y]\rightarrow f[S|Y][x]\)（对应在x的集合中多加一个连通块）。

路人甲（我）：哎哎哎这个dp不是把x的所有连通块排列都统计进去了吗，会错的啊！

大佬：你个sb，这道题又不是计数题。

exp*2：只有计数题才要求转移时每种方案统计一次。这种最优值题，方案被多统计并没有关系，反正是取个max。

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int maxn=17, maxst=(1<<17)-1;
int n, m, sum, e[maxn][maxn], p[maxst], f[maxst][maxn];

inline int max(int x, int y){ return x<y?y:x; }
inline void up(int &x, int y){ x=max(x, y); }

int main(){
	scanf("%d%d", &n, &m); int a, b, c, ans=0;
	memset(f, -1, sizeof(f));  //还是那个，不能让不合法状态成功转移
	for (int i=0; i<m; ++i){
		scanf("%d%d%d", &a, &b, &c); --a; --b;
		e[a][b]=e[b][a]=c; sum+=c; }
	for (int i=0; i<1<<n; ++i){
		for (int j=0; j<n; ++j) if (i&(1<<j))
		for (int k=0; k<n; ++k) if (i&(1<<k))
			p[i]+=e[j][k];
		p[i]>>=1; }
	f[1][0]=0;
	for (int i=1; i<(1<<n); ++i){  //当前集合
		for (int j=0; j<n; ++j){  //当前挂的点
			if (f[i][j]==-1) continue;
			for (int k=0; k<n; ++k){  //枚举新在j后加的点
				if (i&(1<<k)) continue;
				if (e[j][k]==0) continue;  //绝壁想不到的东西！果然转移要想清楚，限制一定要先治好，不能让不合法状态成功转移
				up(f[i|(1<<k)][k], f[i][j]+e[j][k]);
			}
			int revi=(((1<<n)-1)^i)|(1<<j);  //枚举新挂在j上的集合（要加上j以统计连j的边）
			for (int k=revi; k; k=(k-1)&revi)
				up(f[i|k][j], f[i][j]+p[k]);
		}
	}
	for (int i=0; i<(1<<n); ++i)
		up(ans, f[i][n-1]);
	printf("%d\n", sum-ans);
	return 0;
}