hdu3306 Another kind of Fibonacci【矩阵快速幂】

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题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3306

Another kind of Fibonacci

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Problem Description

As we all known , the Fibonacci series : F(0) = 1, F(1) = 1, F(N) = F(N - 1) + F(N - 2) (N >= 2).Now we define another kind of Fibonacci : A(0) = 1 , A(1) =1,A(N) = X * A(N - 1) + Y * A(N - 2) (N >= 2).And we want to Calculate S(N) , S(N) = A(0)² +A(1)²+……+A(n)².

Input

There are several test cases.Each test case will contain three integers , N, X , Y .N : 2<= N <= 2³¹ – 1X : 2<= X <= 2³¹– 1Y : 2<= Y <= 2³¹ – 1

Output

For each test case , output the answer of S(n).If the answer is too big , divide it by 10007 and give me the reminder.

Sample Input

2 1 1
3 2 3

Sample Output

6
196

Author

wyb

Source

HDOJ Monthly Contest – 2010.02.06

说简单点就是要求S(n)=∑f(n)²，其中f(n)=x*f(n-1)+y*f(n-2)，且f(0)=1,f(1)=1。

首先，我们看到有f(n)=x*f(n-1)+y*f(n-2)这个式子，我想大家的第一反应一定是觉得很像斐波那契数列数列。没错，所以，再解这道题目之前，我们先来讲讲斐波那契数列的解法。

一、斐波那契数列的解法

斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……

在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F(0)=0，F(1)=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）

二逼青年做法：显然可以逐项计算F(n)，可以在O(n)的时间内得出答案，不过这种算法的效率太低了，一旦n是一个比较大的数必定超时无疑。

文艺青年做法：接着，数学系的同学可能第一反应就是求通项公式以期在O(1)的时间就可以得出答案。不错，斐波那契数列的通项公式是可以求的，前人已经求出来了：

但是在这个式子中有无理数出现，在计算机中使用浮点数是无法精确存储的，更加无法获得模某个数以后的结果，况且像斐波那契数列正好可以求到通项公式，别的就比如本题只能望洋兴叹了。

高端大气上档次狂拽酷炫吊炸天的计算机系有为青年做法（pia~拍飞）：好了，言归正传，我们来看看真正在ACM程序设计竞赛中的做法。

矩阵是一个好东西，有时候我们可以利用矩阵来简化计算。我们可以把斐波那契数列的递推式变成矩阵形式，即构造一个矩阵：

记这个矩阵为A，则有：

所以，我们只要求出Aⁿ就可以得到F_n了，如何快速求解Aⁿ，那就要用到矩阵快速幂了，可以在O(logn)时间内求解，再次不细讲，大家可以看最终的代码实现。

二、类似斐波那契数列的求法

回到本题中，观察到有f(n)=x*f(n-1)+y*f(n-2)这样一个式子，我们想利用矩阵快速幂简化运算。不过在本题中我们遇到这样一个问题，尽管有了斐波那契数列的基础f(n)是很好求，但是要求∑f(n)就不行了，因为矩阵快速幂运算是“跳”着来的，跟别谈求∑f(n)²了。这时候，我们就要拓展一下思路了。

进一步推导递推式：S(n) = ∑f(n)²= S(n-1)+f(n)² = S(n-1)+x²f(n-1)²+y²f(n-2)²+2xyf(n-1)f(n-2)

其他都好办，就是有一项2xyf(n-1)f(n-2)比较讨厌，那么我们就继续进一步，再写一项：f(n)*f(n-1) = (x*f(n-1)+y*f(n-2))*f(n-1) = x*f(n-1)²+y*f(n-1)*f(n-2)，这样就方便构造矩阵递推了。

我们构造矩阵递推式：

这样我们就能用上矩阵快速幂了，最后只要将A^n-1的第一行加起来就行了

#include <iostream>

#include <ios>

#include <iomanip>

#include <functional>

#include <algorithm>

#include <vector>

#include <sstream>

#include <list>

#include <queue>

#include <deque>

#include <stack>

#include <string>

#include <set>

#include <map>

#include <cstdio>

#include <cstdlib>

#include <cctype>

#include <cmath>

#include <cstring>

#include <climits>

using namespace std;

#define XINF INT_MAX

#define INF 1<<30

#define MAXN 0x7fffffff

#define eps 1e-8

#define zero(a) fabs(a)<eps

#define sqr(a) ((a)*(a))

#define MP(X,Y) make_pair(X,Y)

#define PB(X) push_back(X)

#define PF(X) push_front(X)

#define REP(X,N) for(int X=0;X<N;X++)

#define REP2(X,L,R) for(int X=L;X<=R;X++)

#define DEP(X,R,L) for(int X=R;X>=L;X--)

#define CLR(A,X) memset(A,X,sizeof(A))

#define IT iterator

#define PI  acos(-1.0)

#define test puts("OK");

#define _ ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);

typedef long long ll;

typedef pair<int,int> PII;

typedef priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > PQI;

typedef vector<PII> VII;

typedef vector<int> VI;

#define X first

#define Y second

#define MOD 10007

typedef struct

{

    int data[][];

} M;

M I={,,,,

     ,,,,

     ,,,,

     ,,,};

M matrixmul(M a,M b)

{

    M res=I;

    REP(i,)

    {

        REP(j,)

        {

            int temp=;

            REP(k,)

                temp=(temp+(a.data[i][k]*b.data[k][j])%MOD)%MOD;

            res.data[i][j]=temp;

        }

    }

    return res;

}

int pow_mod(M a,int n)

{

    M res=I;

    while(n>)

    {

        if(n&)

            res=matrixmul(res,a);

        a=matrixmul(a,a);

        n>>=;

    }

    int ans=;

    REP(j,)

        ans=(ans+res.data[][j])%MOD;

    return ans;

}

int main()

{_

        int n,x,y;

        while(scanf("%d%d%d",&n,&x,&y)!=EOF)

        {

            x=x%MOD;y=y%MOD;

            M a={,(x*x)%MOD,(y*y)%MOD,(*x*y)%MOD,

                 ,(x*x)%MOD,(y*y)%MOD,(*x*y)%MOD,

                 ,,,,

                 ,x,,y};

            printf("%d\n",(pow_mod(a,n-)+)%MOD);

        }

    return ;

}

三、推广（《挑战程序设计竞赛第二版》P201）

一般地，对于m项递推式，如果记递推式为

则可以把递推式写成如下矩阵形式

通过计算这个矩阵的n次幂，就可以在O(m³logn)的时间内计算出第n项的值。不过，如果递推式里面含有常数项则稍微复杂一些，需变成如下形式：

by--Kirisame_Marisa 2014-12-27 00:25:05