「CF1101F」Trucks and Cities

题意描述

有 $N$ 座城市，第 $i$ 座坐标为 $a_i$ ，有 $M$ 辆卡车，第 $i$ 辆卡车要从城市 $s_i$ 前往城市 $e_i$ ，每单位长度耗油量为 $c_i$ ，可以在中途城市加满油 $r_i$ 次，求让所有卡车都能到达目的地最小的油箱容积。

传送门

思考&做法

step 1

先来思考暴力，二分答案，然后check所有车，时间 $O(MN\log 10^{18})$ ，会 $\text{TLE}$ 。

到这，就有了多个分支，有大佬改换思路用 $\text{dp}$，用四边形不等式推决策单调性优化 $\text{dp}$ ，也有大佬用分别二分并随机化加剪枝优化暴力的，这些当时我都没有想到，就瞪大眼睛硬做这道题。

step 2

苦思冥想的时候，yang bai ch给了我一个思路：在二分 $V$ 后首先会预处理 $f_{i, j}$ 表示在容量为 $V$ 时，从城市 $i$ 到城市 $j$ ，途中不加油，$c$ 最大是多少，然后暴力是每次加油一次并跳一格，我们要不 $\text{TLE}$ 就要每次不止跳一格，这时我们或许就会想到倍增，但怎么构建倍增表呢？发现对于卡车 $i$ ，只会走 $f_{u, v} \ge c_i$ 的边 $(u, v)$ ，所以考虑对于 $f$ 按 $f_{u, v}$ 从大到小排序，卡车按 $c_i$ 从大到小排序，然后双指针运动，保证在遍历到第 $i$ 辆卡车时会加入所有该卡车能走的边，并且没有该卡车不能走的边。

step3

本来以为能做了，只不过每次要加边，倍增表只能静态，那怎么做呢？如果没有「CF13E」Holes的经验其实很难想到动态修改的跳表。思路就是按索引分块，对于每个元素维护一个 $nxt_i$ 表示从 $i$ 跳一步后的位置，$jump_i$ 表示从 $i$ 第一次跳到下一个块的位置，$step_i$ 表示从 $i$ 第一次跳到下一个块的过程中跳了多少步，每次修改 $nxt_i$ 就对所有 $j \in [L_{bel_i}, i]$ 修改 $jump_j$ 为 $jump_{nxt_j} + 1$ 或 $nxt_j$ ，分讨，并赋值 $step_j$ 。

在查询的时候，跳的过程中每次check当前 $r$ 是否小于 $step_u$ ，若小，跳出循环，暴力跳 $r$ 次 $nxt_i$ ，返回当前点 $u$ ，然后看 $u$ 是否大于 $e_i$ ，若所有卡车都大于，返回 $\text{true}$ ，反之返回 $\text{false}$ 。

概括

二分答案，将卡车和预处理的 $f$ 表按 $c_i$ 和 $f_{i, j}$ 从大到小排序，并用双指针依次加入 $f_{u, v}$ 的边 $(u, v)$ 并保证 $\forall f_{u, v} > c_i$ ，用分块维护跳表，让每一辆卡车跳 $r$ 次，check落点 $u$ 是否大于 $e_i$ 。

总时间复杂度 $O(M \sqrt{N} \log 10^{18})$

solution

/*

address:https://codeforces.com/problemset/problem/1101/F

AC 2025/1/21 11:40

*/

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 405, M = 2.5e5 + 5;

const LL INF = 1e18;

int a[N];

int n, m;

struct truck {

    int s, f, c, r;

    bool operator < (const truck& o)const { return c > o.c; }

}c[M];

struct node {

    int x, y;

    LL c;

    bool operator < (const node& o)const { return c > o.c; }

}e[N * N];

int siz, blk;

int bel[N], nxt[N], jump[N], step[N], L[N], R[N];

inline void change(int id, int x) {

    nxt[id] = x;

    // printf("change %d -> %d ", id, x);

    for (int i = id;i >= L[bel[id]];i--)

        if (nxt[i] > R[bel[i]]) step[i] = 1, jump[i] = nxt[i];

        else step[i] = step[nxt[i]] + 1, jump[i] = jump[nxt[i]];

    // printf("step:%d\n", step[id]);

}

inline int lift(int id, int x) {

    while (true) {

        if (x < step[id]) break;

        x -= step[id];

        id = jump[id];

        // printf("%d ", id);

    }

    for (int i = 1;i <= min(x, siz);i++) id = nxt[id];

    // puts("");

    return id;

}

inline bool check(LL v) {

    // printf("%lld:\n", v);

    int t = 0;

    for (int i = 1;i <= n;i++)

        for (int j = i + 1;j <= n;j++)

            e[++t] = { i, j, v / (a[j] - a[i]) };

    sort(e + 1, e + t + 1);

    // for (int i = 1;i <= t;i++) printf("%d %d %lld\n", e[i].x, e[i].y, e[i].c);

    for (int i = 1;i <= n;i++) nxt[i] = jump[i] = i, step[i] = N;

    int j = 1;

    for (int i = 1;i <= m;i++) {

        // printf("truck %d:", i);

        while (e[j].c >= c[i].c && j <= t) {

            change(e[j].x, e[j].y);

            j++;

        }

        // puts("");

        int u = lift(c[i].s, c[i].r + 1);

        if (u < c[i].f) return false;

    }

    return true;

}

int main() {

    scanf("%d%d", &n, &m);

    siz = sqrt(n);

    blk = (n + siz - 1) / siz;

    for (int i = 1;i <= n;i++) scanf("%d", &a[i]);

    for (int i = 1;i <= n;i++) bel[i] = (i + siz - 1) / siz;

    for (int i = 1;i <= blk;i++) L[i] = (i - 1) * siz + 1, R[i] = min(i * siz, n);

    for (int i = 1;i <= m;i++) scanf("%d%d%d%d", &c[i].s, &c[i].f, &c[i].c, &c[i].r);

    sort(c + 1, c + m + 1);

    LL l = 1, r = INF, v = INF;

    while (l <= r) {

        LL mid = l + r >> 1;

        if (check(mid)) r = mid - 1, v = mid;

        else l = mid + 1;

    }

    printf("%lld", v);

    return 0;

}

总结

不知道为什么，与yang bai ch做题总能做出一些奇奇怪怪的做法，只不过这样也有益于拓展思维，希望后面不知只是按题解所说去做，能多有一些自己的思考并实践。