总结：OI题目中常见的三种距离

设 \(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)\)。

欧几里得距离

\[|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]

一般模型：在一个坐标系上，求从一个点到另一个点的最短几何距离。

曼哈顿距离

\[|AB| = |x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|
\]

一般模型：网格图中从一个点走向另一个点的最短距离。

切皮雪夫距离

\[|AB| = \max(|x_2 - x_1|, |y_2 - y_1|)
\]

一般模型：棋盘上或者在图中一个点到另外相邻八个点的距离为 1。

曼哈顿和切皮雪夫距离的互相转化

曼哈顿 \(\to\) 切皮雪夫：\((x, y) \to (x + y, x - y)\)。

切皮雪夫 \(\to\) 曼哈顿：\((x, y) \to (\frac{x + y}{2}, \frac{x - y}{2})\)。

后者用的比较多，切皮雪夫距离在计算时要取 \(max\)，往往不是很好优化。

例题：TJOI2013 松鼠聚会 - Luogu

固定聚会点后，直接计算距离和是 \(O(n)\) 的，无法接受。

我们转化成曼哈顿距离，发现 \(x, y\) 的贡献分别独立出来了，我们可以分别排序，前缀和优化，二分查找。这样就能做到单次 \(O(2logn)\) 计算，可以通过本题。