【2020.11.30提高组模拟】柱形图(histogram) 题解

题意简述

有$n$个长方体并排这样放着，每种颜色的长方体的宽度都为$1$，高$a_i$长$b_i$。

求在这些长方体内部最大能够放入的长方体的体积。

$n\le200000$.

Solution

这个问题可以在$O(n\log^2n)$的时间复杂度内解决。

设$f(i,j)=\min(a_i,\dots,a_j),g(i,j)=\min(b_i,\dots,b_j)$。

这个问题就被转化成了找到一个区间$[i,j]$使得$\max f(i,j)\cdot g(i,j)\cdot (j-i+1)$。

考虑分治$(divide-and-conquer)$。

$solve(lo,hi)$将找到区间$[lo,hi]$中横跨区间$mid$的最优的区间。他将递归调用$solve(lo,mid-1)$和$solve(mid+1,hi)$。

为了递归合并区间，我们设$[l,r]$是一个$l\in[lo,mid],r\in[mid,hi]$的区间。我们考虑四种情况：

$f(l,r)$和$g(l,r)$都是由左半部分决定，即$f(l,r)=f(l,mid),g(l,r)=g(l,mid)$.
$f(l,r)$和$g(l,r)$都取决于右半边，即$f(l,r)=f(mid,r),g(l,r)=g(mid,r)$.
$f(l,r)$取决于左侧，$g(l,r)$取决于右侧.
$f(l,r)$取决于右侧，$g(l,r)$取决于左侧.

情况$1/2$是类似的，情况$3/4$是类似的，所以我们只需要考虑情况$1/3$。

情况$1$

$f(l,r)$和$g(l,r)$都是由左半部分决定

注意到这意味着$f(l,mid)\le f(mid,r),g(l,mid)\le g(mid,r)$.

我们可以使用双指针法在$O(hi-lo)$的时间内解出来，所以总时间复杂度就变成了$O(n\log n)$.

情况$3$

$f(l,r)$取决于左侧，$g(l,r)$取决于右侧

注意到这意味着$f(l,mid)\le f(mid,r),g(l,mid)\le g(mid,r)$.

这个就没有情况$1/2$那样可以在$O(n\log n)$内解出来。

它存在$O(n\log^2n)$的解法，我们将首先介绍一种$O(n\log^3n)$的解法。

\[\begin{aligned}
f(l,r)\cdot g(l,r)\cdot (r-l+1)&=f(l,mid)\cdot g(mid,r)\cdot (r-l+1)\\
&=f(l,mid)\cdot (-l+1)\cdot g(mid,r)+f(l,mid)\cdot g(mid,r)\cdot r\\
&=\langle(f(l,mid)\cdot (-l+1),f(l,mid)),(g(mid,r),g(mid,r)\cdot r)\rangle
\end{aligned}
\]

其中$\langle(a,b),(c,d)\rangle$表示向量$(a,b)$和$(c,d)$的点积。

注意到第一个向量仅仅依赖于$l$，第二个向量仅仅依赖于$r$.

对于一个固定的$l$，我们希望找到一个$r\in[a(l),b(l)]$使得这两个向量的点积最大。如果$r$不属于那个区间，我们可以计算第二个点集的凸包，然后用三分查找找到对于每个$l$的最优的$r$。但是现在，我们可以对这些点按照它们的横坐标排序，然后建一棵线段树，这棵线段树的每个节点都记录着相应的凸包。所以对于每个$l$我们将会查看线段树上的$O(\log n)$个节点，然后以单次的时间在每个节点对应的凸包内做三分查找。这给我们带来了一个$O(n\log^3n)$的算法，因为我们需要再用一个分治统计答案。

现在我们想要摆脱二分，注意到点$f(l,mid)\cdot (-l+1,1)$随着$l$增加而向逆时针移动，所以凸包上的极值点也会向逆时针移动，对于线段树上的每个节点，我们可以在$O(n)$的时间内完成一次询问，通多记录上次询问的极值点的指针的方式。这给我们带来了一个$O(n\log^2n)$的方法。