[JSOI2016] 最佳团队 (树形DP+01分数规划)

Description

JSOI信息学代表队一共有N名候选人，这些候选人从1到N编号。方便起见，JYY的编号是0号。

每个候选人都由一位编号比他小的候选人Ri推荐。如果Ri=0则说明这个候选人是JYY自己看上的。

为了保证团队的和谐，JYY需要保证，如果招募了候选人i，那么候选人Ri"也一定需要在团队中。

当然了，JYY自己总是在团队里的。每一个候选人都有一个战斗值Pi"，也有一个招募费用Si"。

JYY希望招募K个候选人（JYY自己不算），组成一个性价比最高的团队。

也就是，这K个被JYY选择的候选人的总战斗值与总招募总费用的比值最大。

Input

输入一行包含两个正整数K和N。

接下来N行，其中第i行包含3个整数Si,Pi,Ri表示候选人i的招募费用，战斗值和推荐人编号。

对于100%的数据满足1≤K≤N≤2500,0<"Si,Pi"≤10^4,0≤Ri<i

Output

输出一行一个实数，表示最佳比值。答案保留三位小数。

Sample Input

1 2

1000 1 0

1 1000 1

Sample Output

0.001

Solution

通过题目,我们要想到一下几点:

• 要求的是比值,01分数规划。
• 由于要求一个单独的最优解,于是二分。
• 用背包的思想来转移DP。

二分答案 \(now\), 则其满足不等式 $$\sum_{i}^{{k}p_i*now>=\sum_{i}}{k}s_i$$

此时每个点对于答案的贡献即为: \(p_i*now-s_i\)

于是我们便可以对答案进行转移。




定义状态: \(f[i][j]\) 表示当前到了 DFS 序为 \(i\) 的节点,已经选了 \(j\) 个成员是的最大价值.

状态转移: 由于树形依赖关系,我们每一个节点转移有两种方向:

• \(f[i+1][j+1]\) 即选择这个点(同时之后有机会选择这个点的子树)。
• \(f[i+siz[i]][j+1]\) 即不选择这个点以及它的子树,此时直接转移到\(siz[i]\)之后。

然后就是 DFS+二分+DP 即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2508;
const double eps=0.00001;
struct sj{
    int to;
    int next;
}a[maxn];
int head[maxn],size;
void add(int x,int y)
{
    a[++size].to=y;
    a[size].next=head[x];
    head[x]=size;
}
int n,k,cnt;
double w[maxn],z[maxn];
int pos[maxn],siz[maxn],id[maxn];

void dfs(int x)
{
    siz[x]=1; pos[x]=++cnt;id[cnt]=x;
    for(int i=head[x];i;i=a[i].next)
    {int tt=a[i].to;
    dfs(tt); siz[x]+=siz[tt];}
}
double f[maxn][maxn];
double val[maxn];
void dp(double mid)
{
    for(int i=1;i<=n;i++) val[pos[i]]=z[i]-mid*w[i];
    for(int i=1;i<=n+1;i++)
        for(int j=0;j<=k+1;j++) f[i][j]=-1e18;
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {int mm=min(i,k+1);
        for(int j=0;j<=mm;j++)
        {
            if (f[i][j]+val[i]>f[i+1][j+1])
                f[i+1][j+1]=f[i][j]+val[i];
            if (f[i][j]>f[i+siz[id[i]]][j])
                f[i+siz[id[i]]][j]=f[i][j];
        }
    }
}

int ans;
void work()
{
    cin>>k>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int fr;
        scanf("%lf%lf%d",&w[i],&z[i],&fr);
        add(fr,i);
    }
    cnt=-1;
    dfs(0);
    double mid,l=eps,r=9500;
    while (r-l>eps)
    {
        mid=(l+r)/2;
        dp(mid);
        if (f[n+1][k+1]>=0) l=mid;
        else r=mid;
    }
    printf("%.3lf\n",mid);
}

int main()
{
    work();
    return 0;
}