[LOJ#2324]「清华集训 2017」小Y和二叉树

试题描述

小Y是一个心灵手巧的OIer，她有许多二叉树模型。

小Y的二叉树模型中，每个结点都具有一个编号，小Y把她最喜欢的一个二叉树模型挂在了墙上，树根在最上面，左右子树分别在树根的左下方与右下方，且他们也都满足这样的悬挂规则。为了让这个模型更加美观，小Y选择了一种让这棵二叉树的中序遍历序列最小的悬挂方法。所谓中序遍历最小，就是指中序遍历的结点编号序列的字典序最小。

一天，这个模型不小心被掉在了地上，幸运的是，所有结点和边都没摔坏，但是她想不起这个模型原来是怎么悬挂的了，也就是说：她想不起来树根节点的编号了。

小Y最近忙于准备清华集训，所以没太多时间处理别的事情，她只好找到同样心灵手巧的你帮忙复原她的二叉树模型。

给定小Y的二叉树模型，结点的编号为 $1$ ~ $n$ ，你需要给出其可能的最小的中序遍历，方便小Y更快的摆好她的模型。

输入

第一行为一个正整数 $n$ ，表示点的个数。

后接 $n$ 行，每行若干个整数：

第 $i+1$ 行的第一个整数为 $k_i$，表示编号为 $i$ 的结点的度数，后接 $k_i$ 个整数 $a_{i,j}$，表示编号为 $i$ 的结点与编号为 $a_{i,j}$ 的结点之间有一条边。

同一行输入的相邻两个元素之间，用恰好一个空格隔开。

输出

输出共一行， $n$ 个整数，表示字典序最小的中序遍历。

输入示例

输出示例

2 1 3 4

数据规模及约定

对于 $100\%$ 的数据，$1 \le n \le 1000000, 1 \le k_i \le 3$。

题解

首先我们可以 dp 出每个节点为根时所能得到的中序遍历最小的第一位。这个就是先随便选一个度数 $<3$ 的当根，然后正反 dp 一下。

令 $g_i$ 表示以 $i$ 为根时最小的中序遍历的第一位（若 $i$ 度数为 $3$，则 $g_i$ 无意义）。现在可以确定最后答案的第一位一定是 $min\{g_i\}$，令 $r = min\{g_i\}$，那么我们现在以 $r$ 为根，求一下 $f_i$（即以 $i$ 为根的子树的中序遍历的最小的第一位），可以发现可以把 $r$ “看成”根，在填完 $r$ 的时候，选择一个拥有较小 $f_i$ 的儿子 $i$ 递归（在原树中就是把这个儿子甩到右儿子的位置，另一个儿子甩到父亲的位置：即 $左 \rightarrow 根 \rightarrow 右$ 变成了 $右 \rightarrow 根 \rightarrow 父节点$，虽然树的形态改变，但中序遍历本身没有变），然后把另一个儿子接着“看成根”，再递归（注意还有如“只有一个儿子”等特殊情况，注意特判）……以此类推直至遍历完所有节点。

#include <iostream>

#include <cstdio>

#include <cstdlib>

#include <cstring>

#include <cctype>

#include <algorithm>

using namespace std;

#define rep(i, s, t) for(int i = (s); i <= (t); i++)

#define dwn(i, s, t) for(int i = (s); i >= (t); i--)

int read() {

	int x = 0, f = 1; char c = getchar();

	while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = getchar(); }

	while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }

	return x * f;

}

#define maxn 1000010

#define maxm 2000010

int n, deg[maxn], m, head[maxn], nxt[maxm], to[maxm];

void AddEdge(int a, int b) {

	to[++m] = b; nxt[m] = head[a]; head[a] = m;

	return ;

}

int f[maxn], g[maxn];

void dp1(int u, int fa) {

	f[u] = (fa && deg[u] < 3) ? u : n + 1;

	for(int e = head[u]; e; e = nxt[e]) if(to[e] != fa) dp1(to[e], u), f[u] = min(f[u], f[to[e]]);

	return ;

}

void dp2(int u, int fa) {

	if(fa) g[u] = min(g[fa], deg[fa] < 3 ? fa : n + 1);

	else g[u] = n + 1;

	int ls = -1, rs = -1;

	for(int e = head[u]; e; e = nxt[e]) if(to[e] != fa) {

		if(ls < 0) ls = to[e]; else rs = to[e];

	}

	if(ls < 0 && rs < 0) return ;

	if(rs < 0) {

		dp2(ls, u);

		g[u] = min(g[u], f[ls]);

		return ;

	}

	int org = g[u];

	g[u] = min(org, f[rs]); dp2(ls, u);

	g[u] = min(org, f[ls]); dp2(rs, u);

	g[u] = min(org, min(f[ls], f[rs]));

	return ;

}

int Ans[maxn], cnta;

void dfs(int u, int fa, bool type) {

	int ls = -1, rs = -1;

	for(int e = head[u]; e; e = nxt[e]) if(to[e] != fa) {

		if(ls < 0) ls = to[e]; else rs = to[e];

	}

	if(ls < 0 && rs < 0){ Ans[++cnta] = u; return ; }

	if(rs < 0) {

		if(type) Ans[++cnta] = u, dfs(ls, u, 0);

		else {

			if(u == f[u]) Ans[++cnta] = u, dfs(ls, u, 0);

			else dfs(ls, u, 0), Ans[++cnta] = u;

		}

		return ;

	}

	if(f[ls] > f[rs]) swap(ls, rs);

	if(type) Ans[++cnta] = u, dfs(ls, u, 0), dfs(rs, u, 1);

	else dfs(ls, u, 0), Ans[++cnta] = u, dfs(rs, u, 0);

	return ;

}

int main() {

	n = read();

	int rt;

	rep(i, 1, n) {

		deg[i] = read();

		rep(j, 1, deg[i]) AddEdge(i, read());

		if(deg[i] < 3) rt = i;

	}

	if(n == 1) return puts("1"), 0;

	dp1(rt, 0);

	dp2(rt, 0);

	int root = n + 1;

	rep(i, 1, n) root = min(root, g[i]);

//	printf("g: "); rep(i, 1, n) printf("%d%c", g[i], i < n ? ' ' : '\n');

	dp1(root, 0);

	dfs(root, 0, 1);

	rep(i, 1, cnta) printf("%d%c", Ans[i], i < cnta ? ' ' : '\n');

	return 0;

}