【题解】数字组合(NTT+组合 滑稽)

【题解】数字组合(NTT+组合 滑稽)

今天实践一下谢总讲的宰牛刀233，滑稽。

\((1+x)(1+x)(1+x)\)的\(x^2\)系数就代表了有三个一快钱硬币构成的两块钱的方案数量。

很好理解，毕竟拆括号这种东西本身就有组合意义。

那么假设面值\(i\)有\(a_i\)个，那么最终的答案是

\[G(x)=\prod_{i=1}^{1000} (1+{a_i\choose 1}x+{a_i\choose 2}x^2\dots)
\]

的\(x^m\)项系数

直接NTT即可。

//@winlere
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;  typedef long long ll;
inline int qr(){
      register int ret=0,f=0;
      register char c=getchar();
      while(c<48||c>57)f|=c==45,c=getchar();
      while(c>=48&&c<=57) ret=ret*10+c-48,c=getchar();
      return f?-ret:ret;
}
int la,lb;
const int maxn=1<<17|1;
int a[maxn],b[maxn];
const int mod=998244353;
namespace poly{

      inline int Pow(int base,const int&p){
	    register int ret=1;
	    for(register int t=p;t;t>>=1,base=1ll*base*base%mod)
		  if(t&1) ret=1ll*ret*base%mod;
	    return ret;
      }

      const int g=3;
      const int gi=Pow(g,mod-2);

      int A[maxn],B[maxn],r[maxn];
      int savlen=-1;
      inline void getr(const int&len){
	    if(len==savlen)return;
	    savlen=len;
	    int cnt=0;
	    for(register int t=1;t<len;t=t<<1)++cnt;
	    for(register int t=0;t<len;++t)
		  r[t]=r[t>>1]>>1|(t&1)<<cnt>>1;
      }

      inline int getlen(const int&len){
	    register int ret;
	    for(ret=1;ret<len;ret<<=1);
	    return ret;
      }

      inline void NTT(int*a,const int&len,const int&tag){
	    getr(len);
	    for(register int t=0;t<len;++t)
		  if(r[t]>t)swap(a[t],a[r[t]]);
	    int *a0,*a1,s;
	    if(s=g,tag!=1)s=gi;
	    for(register int t=1,wn;t<len;t<<=1){
		  wn=Pow(s,(mod-1)/(t<<1));
		  for(register int i=0;i<len;i+=t<<1){
			a1=(a0=a+i)+t;
			for(register int k=0,w=1,temp;k<t;++k,++a0,++a1,w=1ll*w*wn%mod){
			      temp=1ll**a1*w%mod;
			      *a1=(*a0-temp)%mod;
			      *a0=(*a0+temp)%mod;
			      if(*a1<0)*a1+=mod;
			}
		  }
	    }
	    if(tag!=1) for(register int t=0,inv=Pow(len,mod-2);t<len;++t)
			     a[t]=1ll*a[t]*inv%mod;
      }

      void inv(int*a,int*b,const int&len){
	    if(len==1){b[0]=Pow(a[0],mod-2);return;}
	    inv(a,b,len>>1);
	    for(register int t=0;t<len;++t) A[t]=a[t],B[t]=b[t];
	    NTT(A,len<<1,1);NTT(B,len<<1,1);
	    for(register int t=0,ed=len<<1;t<ed;++t) A[t]=1ll*A[t]*B[t]%mod*1ll*B[t]%mod;
	    NTT(A,len<<1,-1);
	    for(register int t=0;t<len;++t) b[t]=((b[t]+b[t])%mod+mod-A[t])%mod;
      }

      void INV(int*a,int*b,const int&len){
	    inv(a,b,getlen(len));
      }

      inline void MLP(int*a,int*b,int*c,const int&len1,const int&len2){
	    int k=getlen(len1+len2+2);
	    NTT(a,k,1);NTT(b,k,1);
	    for(register int t=0;t<=k;++t) c[t]=1ll*a[t]*b[t]%mod;
	    NTT(c,k,-1);
      }
}

ll jc[501],v[501];
int buk[1001];

using namespace poly;
inline ll c(const int&n,const int&m){
      if(n<m)return 0;
      return jc[n]*v[m]%mod*v[n-m]%mod;
}

int main(){
      jc[0]=v[0]=1;
      for(register int t=1;t<=500;++t){
	    jc[t]=jc[t-1]*t%mod;
	    v[t]=Pow(jc[t],mod-2);
      }
      int n=qr(),m=qr();
      a[0]=1;
      for(register int t=1;t<=n;++t) ++buk[qr()];
      for(register int t=1;t<=1000;++t){
	    if(!buk[t])continue;
	    if(t>m)break;
	    memset(b,0,sizeof b);
	    b[0]=1;
	    for(register int i=1;1ll*t*i<=m&&i<=buk[t];++i)
		  b[i*t]=c(buk[t],i),lb=i*t;
	    MLP(a,b,a,la,lb);
	    la+=lb;
	    if(la>m+1){
		  for(register int t=m+1;t<=la;++t)
			a[t]=0;
		  la=m;
	    }
      }
      cout<<a[m]<<endl;
      return 0;
}

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