如何用快速傅里叶变换实现DFT

【目标】

  如何以 \(O(N \log N)\) 的效率将系数多项式转换为点值多项式。

【前置技能】

  众所周知，\(x^n=1\)的根有n个，而且它们分别是\(e^{\frac{2*π*i}{n}}\)，即在复平面内的坐标为\((cos(2*π*i),sin(2*π*i))\)。

  为了方便描述，我们分别用\(ω_n^0\)~\(ω_n^{n-1}\)来描述这n个根。而且等会我们要算的，就是多项式A在这n个点处的点值。

  我们由复数的性质可以得到一些公式：

  \((ω_{2n}^{2k})=ω_n^k\)

  \((ω_n^k)^2=ω_n^{2k}=ω_{n/2}^{k}\)

  \(ω_n^{k+\frac{n}{2}}=-ω_n^k\)

【递归计算点值】

  假设我们有一个长度为n的多项式\(A(x)=a_0+a_1*x...a_{n-1}*x^{n-1}\)，现在我们设一个过程F(A)来递归地计算\(A(x)\)的点值多项式（而且点值的自变量就是上述n个单位复数根）。为了方便计算，我们设n为2的幂次。

  简单地把\(A(x)\)拆分成两个多项式，即设：

  \(A_0(x)=a_0+a_2*x+a_4*x^2...+a_{n/2-2}*x^{\frac{n}{2}-1}\)

  \(A_1(x)=a_1+a_3*x+a_5*x^2...+a_{n/2-1}*x^{\frac{n}{2}-1}\)

  容易发现\(A(x)=A0(x^2)+x*A1(x^2)\)

  我们要求的是对于所有k，\(ω_n^k\) 处的点值。

  且\(A(ω_n^k)=A_0((ω_n^k)^2)+ω_n^k*A_1((ω_n^k)^2)\)

  先求所有的k满足\(k∈[0,n/2)\)

  化简易得\(A(ω_n^k)=A_0(ω_{\frac{n}{2}}^k)+ω_n^k*A_1(ω_{\frac{n}{2}}^k)\)

  而且对于\(k∈[0,n/2)\)，我们也可以得到

  \(A(ω_n^{k+\frac{n}{2}})=A_0(ω_n^{2k+n})+ω_n^{k+\frac{n}{2}}*A_1(ω_n^{2k+n})\)

  \(=A_0(ω_n^{2k})-ω_n^{k}*A_1(ω_n^{2k})=A_0(ω_{\frac{n}{2}}^k)-ω_n^{k}*A_1(ω_{\frac{n}{2}}^k)\)

  此时我们已经能求出所有的点值了，而且我们要用到的条件就是：

  \(A_0(ω_{\frac{n}{2}}^k)\) 和 \(A_1(ω_{\frac{n}{2}}^k)\) \(k∈[0,n/2)\)

  容易发现这就是子问题，我们只需直接递归 \(F(A_0)\) 和 \(F(A_1)\) 即可。

  由主定理，得效率为\(T(N)=O(N)+2*T(\frac{n}{2})=O(N \log N)\)