1492: [NOI2007]货币兑换Cash

Description

小Y最近在一家金券交易所工作。该金券交易所只发行交易两种金券：A纪念券（以下简称A券）和 B纪念券（以下

简称B券）。每个持有金券的顾客都有一个自己的帐户。金券的数目可以是一个实数。每天随着市场的起伏波动，

两种金券都有自己当时的价值，即每一单位金券当天可以兑换的人民币数目。我们记录第 K 天中 A券 和 B券 的

价值分别为 AK 和 BK（元/单位金券）。为了方便顾客，金券交易所提供了一种非常方便的交易方式：比例交易法

。比例交易法分为两个方面：（a）卖出金券：顾客提供一个 [0,100] 内的实数 OP 作为卖出比例，其意义为：将

 OP% 的 A券和 OP% 的 B券 以当时的价值兑换为人民币；（b）买入金券：顾客支付 IP 元人民币，交易所将会兑

换给用户总价值为 IP 的金券，并且，满足提供给顾客的A券和B券的比例在第 K 天恰好为 RateK；例如，假定接

下来 3 天内的 Ak、Bk、RateK 的变化分别为：

假定在第一天时，用户手中有 100元 人民币但是没有任何金券。用户可以执行以下的操作：

注意到，同一天内可以进行多次操作。小Y是一个很有经济头脑的员工，通过较长时间的运作和行情测算，他已经

知道了未来N天内的A券和B券的价值以及Rate。他还希望能够计算出来，如果开始时拥有S元钱，那么N天后最多能

够获得多少元钱。

Input

输入第一行两个正整数N、S，分别表示小Y能预知的天数以及初始时拥有的钱数。接下来N行，第K行三个实数AK、B

K、RateK，意义如题目中所述。对于100%的测试数据，满足：0<AK≤10；0<BK≤10；0<RateK≤100；MaxProfit≤1

0^9。

【提示】

1.输入文件可能很大，请采用快速的读入方式。

2.必然存在一种最优的买卖方案满足：

每次买进操作使用完所有的人民币；

每次卖出操作卖出所有的金券。

 

Output

只有一个实数MaxProfit，表示第N天的操作结束时能够获得的最大的金钱数目。答案保留3位小数。

Sample Input

3 100
1 1 1
1 2 2
2 2 3

Sample Output

225.000

 

 

CDQ分治或Spaly动态维护凸包

详见PoPoQQQ博客

 

 

首先是CDQ分治版本

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define MN 100001
using namespace std;

int read_p,read_ca;
inline int read(){
    read_p=;read_ca=getchar();
    while(read_ca<''||read_ca>'') read_ca=getchar();
    while(read_ca>=''&&read_ca<='') read_p=read_p*+read_ca-,read_ca=getchar();
    return read_p;
}
struct na{
    double A,B,R,q;
    int id;
}b[MN],x[MN];
struct ma{
    double A,B;
}q[MN],px[MN];
bool cmp(na a,na b){
    return a.q>b.q;
}
bool operator < (ma a,ma b){
    if (a.A==b.A) return a.B<b.B;else return a.A<b.A;
}
int n,top,s[MN];
double f[MN];
inline double max(double a,double b){return a>b?a:b;}
inline double fk(ma a,ma b){
    if (a.A==b.A) return 2e9*(a.B<=b.B?:-);
    return (a.B-b.B)/(a.A-b.A);
}
inline void work(int l,int r){
    int i;
    if (l==r){
        f[l]=max(f[l],f[l-]);
        q[l].A=f[l]/(b[l].R*b[l].A+b[l].B)*b[l].R;
        q[l].B=f[l]/(b[l].R*b[l].A+b[l].B);
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>,l1=l,l2=mid+;
    for (i=l;i<=r;i++) if (b[i].id<=mid) x[l1++]=b[i];else x[l2++]=b[i];
    for (i=l;i<=r;i++) b[i]=x[i];
    work(l,mid);top=;

    for (i=l;i<=mid;s[++top]=i++)
    while(top>) if (fk(q[s[top-]],q[s[top]])<fk(q[s[top]],q[i])) s[top--]=;else break;

    for (i=mid+;i<=r;f[b[i].id]=max(f[b[i].id],q[s[top]].A*b[i].A+q[s[top]].B*b[i].B),i++)
    while(top>) if (fk(q[s[top-]],q[s[top]])<-b[i].q) s[top--]=;else break;

    work(mid+,r);
    l1=l;l2=mid+;
    for (int i=l;i<=r;i++)
    if (((q[l1]<q[l2])||(l2>r))&&l1<=mid)
    px[i]=q[l1++];else px[i]=q[l2++];
    for (int i=l;i<=r;i++)
    q[i]=px[i];
}
int main(){
    int i;
    n=read();scanf("%lf",&f[]);
    for (i=;i<=n;i++) scanf("%lf%lf%lf",&b[i].A,&b[i].B,&b[i].R),b[i].q=b[i].A/b[i].B,b[i].id=i;
    sort(b+,b++n,cmp);
    work(,n);
    printf("%.3lf\n",f[n]);
}

CDQ

 

然后平衡树

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define MN 100001
using namespace std;

int n,ne[MN],fi[MN],p;
double X[MN],Y[MN],f[MN],A[MN],B[MN],R[MN],q[MN];
inline double fk(int a,int b){
    if (!a) return 2e9;if (!b) return -2e9;
    if (X[a]==X[b]) return 2e9*(Y[a]<=Y[b]?:-);
    return (Y[a]-Y[b])/(X[a]-X[b]);
}
struct tree{
    int l,r,k,w,f,s;
    tree(){
        f=l=r=;
    }
};
inline double max(double a,double b){return a>b?a:b;}
struct splay_tree{
    int size,root;
    tree t[];
    splay_tree(){
        size=;root=;
    }
    inline void ler(int &p){
        int k=t[p].r;
        t[k].f=t[p].f;
        t[p].f=k;
        t[t[k].l].f=p;
        t[p].r=t[k].l;
        t[k].l=p;
        t[k].s=t[p].s;
        t[p].s=t[t[p].l].s+t[t[p].r].s+t[p].w;
        p=k;
    }
    inline void rir(int &p){
        int k=t[p].l;
        t[k].f=t[p].f;
        t[p].f=k;
        t[t[k].r].f=p;
        t[p].l=t[k].r;
        t[k].r=p;
        t[k].s=t[p].s;
        t[p].s=t[t[p].l].s+t[t[p].r].s+t[p].w;
        p=k;
    }
    inline void ph(int &x,bool bo){if (bo) rir(x);else ler(x);}
    inline bool gc(int x){return t[t[x].f].l==x;}
    inline void rot(int p){
        if (t[p].f==root) ph(root,gc(p));else
        if (gc(t[p].f)) ph(t[t[t[p].f].f].l,gc(p));else ph(t[t[t[p].f].f].r,gc(p));
    }
    inline void splay(int p,int f){
        while(t[p].f!=f){
            if (t[t[p].f].f==f) rot(p);else
            if (gc(t[p].f)==gc(p)) rot(t[p].f),rot(p);else rot(p),rot(p);
        }
    }
    inline void insert(int &p,int k,int f){
        if (!p){
            p=++size;
            t[p].k=k;
            t[p].w=;
            t[p].f=f;
            t[p].s=;
            splay(p,);
            return;
        }
        t[p].s++;
        if (X[t[p].k]>X[k]) insert(t[p].l,k,p);else insert(t[p].r,k,p);
    }
    inline int qui(int p,int k){
        if (!p) return -;
        if (X[t[p].k]>X[k]) return qui(t[p].l,k);else{
            int u=qui(t[p].r,k);
            if (u==-) splay(p,),u=p;return u;
        }
    }
    inline int ask(int p,double k){
        if (!p) return -;
        if (fk(p,ne[p])==k) return p;else
        if (fk(p,ne[p])>k) return ask(t[p].r,k);else
        if (t[p].l==) return p;else{
            int u=ask(t[p].l,k);
            if (u==-){splay(p,);return p;}else return u;
        }
    }
};
splay_tree t;
inline void in(int x){
    int s=t.qui(t.root,x),p=ne[s];
    if (s&&X[s]==X[x]) if (Y[s]>=Y[x]){t.size++;return;}else s=fi[s];
    if (fk(s,x)<fk(x,p)){t.size++;return;}
    if (s==-){
        p=ne[];
        while ((fk(x,p)<fk(p,ne[p]))&&p) p=ne[p];
        t.splay(p,);t.t[p].l=;
        ne[x]=p;
        ne[]=x;
        fi[x]=;
        fi[ne[x]]=x;
        t.insert(t.root,x,);
        return;
    }
    while (fk(fi[s],s)<fk(s,x)&&s) s=fi[s];
    while ((fk(x,p)<fk(p,ne[p]))&&p) p=ne[p];
    if ((!s)&&(!p)) t.root=;else
    if ((!s)&&p) t.splay(p,),t.t[p].l=;else
    if (s&&(!p)) t.splay(s,),t.t[s].r=;else
    t.splay(s,),t.splay(p,s),t.t[p].l=;
    ne[s]=x;fi[x]=s;
    ne[x]=p;fi[p]=x;
    t.insert(t.root,x,);
}
inline int que(double k){
    return t.ask(t.root,k);
}
int main(){
    scanf("%d%lf",&n,&f[]);
    for (int i=;i<=n;i++) scanf("%lf%lf%lf",&A[i],&B[i],&R[i]),q[i]=-A[i]/B[i];
    X[]=f[]/(R[]*A[]+B[])*R[];
    Y[]=f[]/(R[]*A[]+B[]);
    in();
    for (int i=;i<=n;i++){
        p=que(q[i]);
        f[i]=max(X[p]*A[i]+Y[p]*B[i],f[i-]);
        X[i]=f[i]/(A[i]*R[i]+B[i])*R[i];
        Y[i]=f[i]/(R[i]*A[i]+B[i]);
        in(i);
    }
    printf("%.3lf\n",f[n]);
    return ;
}

Spaly