[BZOJ2707]走迷宫

Description

Morenan被困在了一个迷宫里。迷宫可以视为N个点M条边的有向图，其中Morenan处于起点S，迷宫的终点设为T。可惜的是，Morenan非常的脑小，他只会从一个点出发随机沿着一条从该点出发的有向边，到达另一个点。这样，Morenan走的步数可能很长，也可能是无限，更可能到不了终点。若到不了终点，则步数视为无穷大。但你必须想方设法求出Morenan所走步数的期望值。

Input

第1行4个整数，N,M,S,T

第[2, M+1]行每行两个整数o1, o2，表示有一条从o1到o2的边。

Output

一个浮点数，保留小数点3位，为步数的期望值。若期望值为无穷大，则输出"INF"。

Sample Input

9 12 1 9

1 2

2 3

3 1

3 4

3 7

4 5

5 6

6 4

6 7

7 8

8 9

9 7

Sample Output

9.500

HINT

n<=10000,m<=1000000,保证每个强连通分量大小不超过100

 

题解

本题真的是无法描述啊......

这个高斯消元搞了我一晚上

正解其实想出来了但是就是不会打

既然题目都提示强连通分量了，肯定要跑个tarjan缩点呀

但是，经过一个强连通分量不一定就会INF,因为毕竟一次走不出去还有机会再次走出去

容易发现，INF的条件是“起点终点不连通”或“起点可以到达某个点，该点却不能到达终点”

上述INF情况可以跑正向+逆向dfs来判断

在不INF时,对于每个点，设f[i]为从i点到终点的期望步数,设du[i]为i点出度,f的方程容易想出来:

f[i]=1+sigma(f[j],i与j有边联通)/du[i]

(除了终点T,到了终点之后就不用再走了,因此f[T]=0,终点的出边也可以直接删除)

每个点的f长得和方程一样,那么我们就考虑解方程组:高斯消元

可我们发现数据范围太大(n<=10000)没办法消元

我们发现,题目提示强连通分量大小不超过100,100的范围是可以做的

因此我们考虑按照拓扑序逆序对每一个强连通分量进行高斯消元;

如果按照拓扑序逆序的话,计算某个连通块时,他会涉及到的出点都已经计算完了,所以这样是正确的

代码见下

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<queue>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 #include<vector>
 using namespace std;
 const int N=;
 const int M=;
 struct node{int qi,zhong,next;}s[M],z[M],t[M];
 bool vis[N],t_vis[N],z_vis[N];
 int e,z_e,t_e,adj[N],z_adj[N],t_adj[N];//s最早的图,z缩点后正图,t缩点后反图
 int n,m,S,T,id[N],chudu[N];//id为某个点在所属连通块
 vector<int>man[N];
 int dfn[N],low[N],stack[N],top,num,belong[N],tot;//tarjan相关的数组
 double A[][],f[N];//A为高斯消元,f为dp数组
 inline void add(int qi,int zhong)
 {
     s[++e].zhong=zhong;s[e].qi=qi;
     s[e].next=adj[qi];adj[qi]=e;
 }
 inline void z_add(int qi,int zhong)
 {
     z[++z_e].zhong=zhong;z[z_e].qi=qi;
     z[z_e].next=z_adj[qi];z_adj[qi]=z_e;
 }
 inline void t_add(int qi,int zhong)
 {
     t[++t_e].zhong=zhong;t[t_e].qi=qi;
     t[t_e].next=t_adj[qi];t_adj[qi]=t_e;
 }
 void tarjan(int rt)
 {
     dfn[rt]=low[rt]=++num;
     stack[++top]=rt;vis[rt]=;
     for(int i=adj[rt];i;i=s[i].next)
     {
         int u=s[i].zhong;
         if(!dfn[u])tarjan(u),low[rt]=min(low[u],low[rt]);
         else if(!id[u])low[rt]=min(dfn[u],low[rt]);
     }
     if(dfn[rt]==low[rt])
     {
         int v,ge=;tot++;
         do
         {
             v=stack[top--];id[v]=++ge;
             belong[v]=tot;man[tot].push_back(v);
         }
         while(v!=rt);
     }
 }
 void dfs1(int rt)
 {
     z_vis[rt]=;
     for(int i=z_adj[rt];i;i=z[i].next)
         if(!z_vis[z[i].zhong])dfs1(z[i].zhong);
 }
 void dfs2(int rt)
 {
     t_vis[rt]=;
     for(int i=t_adj[rt];i;i=t[i].next)
         if(!t_vis[t[i].zhong])dfs2(t[i].zhong);
 }
 inline bool judge()//正反dfs判断INF
 {
     dfs1(belong[S]);dfs2(belong[T]);
     for(int i=;i<=n;i++)
         if(z_vis[i]&&!t_vis[i])
             return ;
     return ;
 }
 inline void gasse(int b)//高斯消元
 {

     if(b==belong[T]){f[T]=;return;}
     int size=man[b].size();
     memset(A,,sizeof(A));
     for(int i=;i<size;i++)
     {
         int p=man[b][i];
         A[i][size]=chudu[p];//我统一把出度给乘上去了,没有写分数的形式
         for(int j=adj[p];j;j=s[j].next)
         {
             int u=s[j].zhong;
             if(belong[u]==b)//统计连通块自己的系数
                 A[i][id[u]-]--;
             else if(u!=T)//统计之前的贡献
                 A[i][size]+=f[u];
         }
         A[i][i]+=chudu[p];
     }
     for(int i=;i<size;i++)
     {
         int p=i;
         for(int j=i+;j<size;j++)
             if(fabs(A[p][i])<fabs(A[j][i]))p=j;
         if(p!=i)
             for(int j=;j<=size;j++)
                 swap(A[p][j],A[i][j]);
         for(int j=i+;j<size;j++)
         {
             double tmp=A[j][i]/A[i][i];
                 for(int k=i;k<=size;k++)
                     A[j][k]-=tmp*A[i][k];
         }
     }
     for(int i=size-;i>=;i--)
     {
         for(int j=i+;j<size;j++)
             A[i][size]-=A[j][size]*A[i][j];
         A[i][size]/=A[i][i];
     }
     for(int i=;i<size;i++)
         f[man[b][i]]=A[i][size];
 }
 void solve(int rt)
 {
     for(int i=z_adj[rt];i;i=z[i].next)
         if(!vis[z[i].zhong])
             solve(z[i].zhong);
     vis[rt]=;
     gasse(rt);
 }
 int main()
 {
     scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&S,&T);int a,b;
     if(S==T){printf("0.000");return ;}
     for(int i=;i<=m;i++)
     {
         scanf("%d%d",&a,&b);
         if(a==T)continue;
         chudu[a]++,add(a,b);
     }
     for(int i=;i<=n;i++)if(!dfn[i])tarjan(i);
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         for(int j=adj[i];j;j=s[j].next)
         {
             int u=s[j].zhong;
             if(belong[i]!=belong[u])
             {
                 z_add(belong[i],belong[u]);
                 t_add(belong[u],belong[i]);
             }
         }
     }
     if(judge())
     {
         memset(vis,,sizeof(vis));
         solve(belong[S]);
         printf("%.3lf",f[S]);
     }
     else{printf("INF");return ;}
 } 

BZOJ2707