Tarjan算法：求解图的割点与桥（割边）

简介：

割边和割点的定义仅限于无向图中。我们可以通过定义以蛮力方式求解出无向图的所有割点和割边,但这样的求解方式效率低。Tarjan提出了一种快速求解的方式，通过一次DFS就求解出图中所有的割点和割边。

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1. 割点与桥（割边）的定义

在无向图中才有割边和割点的定义

割点：无向连通图中，去掉一个顶点及和它相邻的所有边，图中的连通分量数增加，则该顶点称为割点。

桥（割边）：无向联通图中，去掉一条边，图中的连通分量数增加，则这条边，称为桥或者割边。

割点与桥（割边）的关系：

1）有割点不一定有桥,有桥一定存在割点

2）桥一定是割点依附的边。

下图中顶点C为割点，但和C相连的边都不是桥。

2. 暴力解决办法解决求解割点集和割边集

暴力法的原理就是通过定义求解割点和割边。在图中去掉某个顶点，然后进行DFS遍历，如果连通分量增加，那么该顶点就是割点。如果在图中去掉某条边，然后进行DFS遍历，如果连通分量增加，那么该边就是割边。对每个顶点或者每个边进行一次上述操作，就可以求出这个图的所有割点和割边，我们称之为这个图的割点集和割边集。

在具体的代码实现中，并不需要真正删除该顶点和删除依附于该顶点所有边。对于割点，我们只需要在DFS前，将该顶点对应是否已访问的标记置为ture，然后从其它顶点为根进行DFS即可。对于割边，我们只需要禁止从这条边进行DFS后，如果联通分量增加了，那么这条边就是割边。

3. Tarjan算法的原理

判断一个顶点是不是割点除了从定义，还可以从DFS（深度优先遍历）的角度出发。我们先通过DFS定义两个概念。

假设DFS中我们从顶点U访问到了顶点V（此时顶点V还未被访问过），那么我们称顶点U为顶点V的父顶点，V为U的孩子顶点。在顶点U之前被访问过的顶点，我们就称之为U的祖先顶点。

显然如果顶点U的所有孩子顶点可以不通过父顶点U而访问到U的祖先顶点，那么说明此时去掉顶点U不影响图的连通性，U就不是割点。相反，如果顶点U至少存在一个孩子顶点，必须通过父顶点U才能访问到U的祖先顶点，那么去掉顶点U后，顶点U的祖先顶点和孩子顶点就不连通了，说明U是一个割点。