[CodeForces - 1225C]p-binary 【数论】【二进制】

标签: 题解 codeforces题解 数论


题目描述

Time limit

2000 ms

Memory limit

524288 kB

Source

Technocup 2020 - Elimination Round 2

Tags

bitmasks brute force math *1600

Site

https://codeforces.com/problemset/problem/1225/c

题面

Example

Input1

24 0

Output1

2

Input2

24 1

Output2

3

Input3

24 -1

Output3

4

Input4

4 -7

Output4

2

Input5

1 1

Output5

-1

题目大意

给定\(n, p\),使\(n\)能表达成这样的形式\(n = \sum_{i = 1}^{m}(2^{a[i]} + p)\)(\(a[i] = 0,1,2,3, \dots\))。问最小的\(m\)是多少?如果无法写成上述表达,则输出-1。

例如,

给定\(n = 24, k = 1\),\(24 = (2^4 + 1) + (2^2 + 1)+ (2^0 + 1)\)。这样\(m\)最小为3。


解析

可将上式变形,\(n - m \times p = \sum_{i = 1}^{m}2^{a[i]}\)。

令\(d(x)\)表示\(x\)的二进制形式中\(1\)的个数。

我们不难发现,满足\(d(n - m \times p) \leq m \leq n - m \times p\),即有\(n - m \times p = \sum_{i = 1}^{m}2^{a[i]}\)。

因为\(2^i = 2^{i - 1} + 2 ^ {i - 1}\),所以\(m\)可以大于这个数的二进制中\(1\)的个数。

而\(2^0 = 1\)的时候就无法再往下分了,所以\(m\)要小于等于这个数的本身。

这样我们就可以通过简单枚举\(m\)得出答案。

为什么m可以通过枚举得出?m不会很大吗?

\(n - m \times p = \sum_{i = 1}^{m}2^{a[i]}\)等式左边是线性增长,等式右边是指数增长。能使等号成立的\(m\)不会很大。


通过代码

/*
Status
Accepted
Time
31ms
Memory
8kB
Length
584
Lang
GNU G++11 5.1.0
Submitted
2019-12-20 09:17:54 RemoteRunId
67258530
*/ #include <bits/stdc++.h>
#define lowbit(i) i & -i //一个数的二进制表示中,1的最低位.
using namespace std; const int INF = 1e5;
int n, p; int binary_digit(int x) //找到一个数的二进制表示中,有几个1.
{
int cnt = 0; while(x){
x -= lowbit(x);
cnt ++;
} return cnt;
}
void work()
{
for(int i = 1; i < INF; i ++){ //枚举.
if(n - i * p < 0){ //n>0,出现小于0的情况就直接结束.
puts("-1");
return;
} if(binary_digit(n - i * p) <= i && i <= n - i * p){ //落在这个区间的就能满足等式.
printf("%d", i);
return;
}
} puts("-1");
return;
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &p); work(); return 0;
}

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