【Learning】 欧拉回路的求解

欧拉回路：

　　欧拉回路，俗称一笔画，比如一笔画五角星等。

　　这里给出非严谨的定义：欧拉回路即从一个点出发，不重复、不遗漏地经过所有的边与所有的点，并恰好回到出发点。

　　包含欧拉回路的图称为欧拉图。

　　欧拉回路在有向图、无向图和混合图（存在有向边和无向边）上有不同的求法，不过原理上是类似的。

判断方法：

　　有向图：

　　　　研究欧拉回路的性质我们发现：在有向图的欧拉回路中，每一个点，一定是若干次一进一出，否则无解。

　　　　因此要求每一个点的入度=出度。

　　无向图：

　　　　类似有向图，在无向图的欧拉回路中，每一个点也是若干次一进一出。

　　　　因此要求每一个点的度数为偶数。

　　混合图：

　　　　这下就不好考虑了，我们需要使用网络流建模。我们想办法从出度和入度入手。

　　　　首先看每一条有向边$(u,v)$，它们一定会为$u$提供1的出度，为$v$提供$1$的入度。

　　　　其次看每一条无向边$(u,v)$，由于其无向，我们暂且随便定一个方向（干脆就$u$->$v$好了），为$u$提供1的出度，为$v$提供1的入度。

　　　　现在每个点的出度和入度看起来是乱七八糟的了。我们期望的，是一个点的出度与入度平衡。

　　　　由于有向边已经固定，没法改变它们对出入度的贡献，那么现在要做的，是将某一些无向边反向，使得所有点的出入度平衡。

　　　　一条边一反向，就会将某一度$-1$，将另一度$+1$。由此如果一个点出入度之差为奇数，那么一定不可能通过无向边的调整使它平衡，此时一定无解。

　　　　设一个点$u$的出度为$out$，入度为$in$。

　　　　　如果$out>in$，那么从这个点出发的边太多。它提供$x=\frac{1}{2}(out-in)$条出边可以反向。这样会给每一条出边的终点的$out+1$，$in-1$。那么由源点$S$向$u$连一条容量为$x$的边。

　　　　　如果$in>out$，那么到达这个点的边太多。它提供$x=\frac{1}{2}(in-out)$条边可以反向。这样会给每一条入边的起点的$out-1$，$in+1$。那么由$u$向汇点$T$连一条容量为$x$的边。

　　　　基于上述关系，$out>in$的点集可以给$in>out$的点集提供边，使得双方都尽可能平衡，即多的给少的。

　　　　那么对于原图中每一条无向边$(u,v)$，刚刚定的方向是$u$->$v$才得出当前的度数，那么由$u$向$v$连一条容量为$1$的边就好。

　　　　跑最大流，看由$S$出发的边是否全部满流：如果是，则存在欧拉回路；否则不存在欧拉回路。因为这些边满流，代表$out>in$的点已经平衡，可以发现$in>out$的边也恰好平衡了。

　　　　如何输出欧拉回路？根据上述建模方法，如果存在欧拉回路，对于中间的点互连的容量为$1$的边，如果流量为0该无向边就这么定向，如果流量为1，所对应的无向边应该要反向。有向边直接输出即可。