[WC2018]州区划分（状压，子集卷积）

[洛谷题面]https://www.luogu.org/problemnew/show/P4221

首先考虑判定一个子图是否合法：

（1）连通：并查集判断即可。

（2）没有欧拉回路：存在欧拉回路的条件是度数均为偶数，计算度数判断即可。

容易想到进行状压DP，设 \(F[S]\) 表示选取点集 \(S\) 的答案。

\[F[S]=\frac{1}{SumW(S)} \sum_{T\subseteq S} F[S-T]*SumW(T)
\]

直接按上式暴力，复杂度为 \(O(3^n)\)，可以通过 \(15pts\)。

然而注意到这是一个类似子集卷积的形式，显然是可以FWT优化的，而由于卷积式中有本身，故可以按照集合大小从小到大计算即可。

时间复杂度 \(O(n^22^n)\)，实现时要注意寻址的连续否则容易被卡常。一个子集卷积85分

#include<cstdio>

typedef long long ll;
const int N=22,M=1<<21,P=998244353;

int fpow(int a,int b)
{
	ll w(1),o(a);
	while(b) {
		if(b&1) w=w*o%P;
		o=o*o%P;
		b>>=1;
	}
	return w;
}

int Inv(int x)
{
	return fpow(x,P-2);
}

int n,m,k,len,w[N],sum[M],sk[M],ski[M],mark[M],f[N],deg[N],dp[N][M],g[N][M];

struct edge {
	int u,v;
}e[N*N];

inline int fp(int i,int j)
{
	return (i>>(j-1))&1;
}

inline void upd(int&x, int y)
{
	x=(x+y)%P;
}

int find(int x)
{
	return f[x]==x?x:f[x]=find(f[x]);
}

int ck(int D)
{
	int y=0;
	for(int i=1; i<=n; i++)
		if(fp(D,i))
		{
			int x=find(i);
			if(!y) y=x;
			if(x^y) return 1;
		}
	for(int i=1; i<=n; i++)
		if(fp(D,i))
		{
			if(deg[i]&1)
				return 1;
		}
	return 0;
}

inline void re(int &x) { x+=x>>31&P; }

void fwt(int *s,int o)
{
	for(int l=1; l<len; l<<=1)
		for(int i=0; i<len; i+=l<<1)
			for(int j=i; j<i+l; j++)
				if(!o) re(s[j+l]+=s[j]-P);
				else re(s[j+l]-=s[j]);
}

int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	len=1<<n;
	for(int i=1; i<=m; i++)
		scanf("%d %d",&e[i].u,&e[i].v);
	for(int i=1; i<=n; i++)
		scanf("%d",&w[i]);
	for(int i=1; i<len; i++)
	{
		for(int j=1; j<=n; j++)
			if(fp(i,j))
				upd(sum[i],w[j]);
		sk[i]=fpow(sum[i],k);
		ski[i]=Inv(sk[i]);
	}
	for(int i=1; i<len; i++)
	{
		for(int j=1; j<=n; j++)
			if(fp(i,j)) f[j]=j,deg[j]=0;
		for(int j=1; j<=m; j++)
			if(fp(i,e[j].u) && fp(i,e[j].v))
			{
				deg[e[j].u]++;
				deg[e[j].v]++;
				int fu=find(e[j].u),fv=find(e[j].v);
				if(fu^fv) f[fu]=fv;
			}
		mark[i]=ck(i);
	}
	for(int i=1; i<len; i++)
		if(mark[i])
			g[__builtin_popcount(i)][i]=sk[i];
	for(int i=0; i<=n; i++) fwt(g[i],0);
	dp[0][0]=1;
	fwt(dp[0],0);
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		for(int k=0; k<i; k++)
			for(int j=1; j<len; j++)
				re(dp[i][j]+=(ll)dp[k][j]*g[i-k][j]%P-P);
		fwt(dp[i],1);
		for(int j=1; j<len; j++)
			if(dp[i][j]) dp[i][j]=(ll)dp[i][j]*ski[j]%P;
		if(i==n)
		{
			printf("%d",dp[n][len-1]);
			break;
		}
		fwt(dp[i],0);
	}
	return 0;
}