[hdu5270]按位统计，容斥，归并

题意：给两个序列[a, a + n), [b, b + n)，求所有数(ai + bj)的异或和，i,j∈[0,n)。

思路：这个题思路比较巧妙，不难但是难想到。BC上的题解讲得非常清楚了，我就直接copy过来了吧

我们考虑两个数A，B。
为了描述方便，我们设[P]的值为：当表达式P的值为真时，[P]=1，否则[P]=0
我们现在考虑计算[(A+B)and(2i)>0]
首先我们将A,B都对2i+1取模，显然这样是不会影响答案的
则有一个十分显然的等式：
[(A+B)and(2i)>0]=[(A+B)≥(2i)]−[(A+B)≥(2i+1)]+[(A+B)≥(3∗2i)]
这个式子相当容易理解，这里不多述了
考虑每一位对答案的贡献是独立的，我们每一位分开做
于是现在问题变成了：给定数组A,B，求满足Ai+Bj≥limit的数对个数
我们可以将A,B排序后，直接O(n)计算即可
然而排序是O(nlogn)的，这样总复杂度就是O(nlognlogA)了，无法通过此题
于是这里有个小技巧
我们从高位往低位做，现在我们要实现的是：将A中每个数对P取模后将A排序
我们发现A会被分成两段，一段小于P，一段大于等于P，只有后面一段要取模，我们可以取模后直接将这两段归并，复杂度是O(n)的
时间复杂度：O(nlogA+nlogn)

下面的代码就是根据题解写的，个人感觉也非常清晰了：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

#pragma comment(linker, "/STACK:10240000,10240000") #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <vector> #include <algorithm> #include <queue> using namespace std;   const int maxn = 1e5 + 7;   int n; long long a[maxn], b[maxn];   void sort(long long *a, long long md) {     int pos = n;     for (int i = 0; i < n; i ++) {         if (pos == n && a[i] >= md) pos = i;         a[i] = a[i] & (md - 1);     }     inplace_merge(a, a + pos, a + n); }   bool solve(long long limit) {     long long ans = 0;     int that = n - 1;     for (int i = 0; i < n; i ++) {         while (that >= 0 && a[i] + b[that] >= limit) that --;         ans += n - 1 - that;     }     return ans & 1; } int main() { #ifndef ONLINE_JUDGE     freopen("in.txt", "r", stdin); #endif // ONLINE_JUDGE     int T, cas = 0;     cin >> T;     while (T --) {         cin >> n;         for (int i = 0; i < n; i ++) {             scanf("%I64d", a + i);         }         for (int i = 0; i < n; i ++) {             scanf("%I64d", b + i);         }         sort(a, a + n);         sort(b, b + n);         long long ans = 0;         for (int i = 61; i >= 0; i --) {             sort(a, (long long)2 << i);             sort(b, (long long)2 << i);             long long res =                 solve((long long)1 << i) ^                 solve((long long)2 << i) ^                 solve((long long)3 << i);             ans |= res << i;         }         printf("Case #%d: %I64d\n", ++ cas, ans);     }     return 0; }