[题解] Luogu P2000 拯救世界

生成函数板子题......

要写高精，还要NTT优化......异常dl

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这个并不难想啊......

一次召唤会涉及到\(10\)个因素，全部写出来，然后乘起来就得到了答案的生成函数，输出\(n\)次项的系数就好了。

下面把\(10\)个条件列一下

\[1 + x^6 + x^{12} + \cdots = \frac{1}{1-x^6}
\]

\[1+x^2+x^3+\cdots+x^9 = \frac{1-x^{10}}{1-x}
\]

\[1+x^2+x^3+x^4+x^5 = \frac{1-x^6}{1-x}
\]

\[1+x^4+x^8+\cdots = \frac{1}{1-x^4}
\]

\[1+x^2+x^3+\cdots+x^7 = \frac{1-x^8}{1-x}
\]

\[1+x^2+x^4+\cdots = \frac{1}{1-x^2}
\]

\[1+x = \frac{1-x^2}{1-x}
\]

\[1+x^8+x^{16}+\cdots = \frac{1}{1-x^8}
\]

\[1+x^{10}+x^{20}+\cdots = \frac{1}{1-x^{10}}
\]

\[1+x^2+x^3 = \frac{1-x^4}{1-x}
\]

全部乘起来，然后消掉一些分子分母，就是\(\frac{1}{(1-x)^5} = (-x+1)^{-5}\)，假设\(|x|<1\)好了，然后二项式定理

\[(-x+1)^{-5} = \sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \frac{(-5)(-5-1)\cdots(-5-k+1)}{k!} x^k = \sum\limits_{i=0}^{\infty} \binom{k+4}{k} x^k
\]

所以答案就是\(\binom{n+4}{n} = \frac{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{24}\)

然而要写高精......还要NTT啥的优化一下......

好像其他语言都被卡了......

\(Code:\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=6e5+10,P=998244353,gen=3,igen=(P+1)/gen;
inline int add(int x,int y){
    return x+y>=P?x+y-P:x+y;
}
inline int sub(int x,int y){
    return x-y<0?x-y+P:x-y;
}
inline int fpow(int x,int y){
    int ret=1; for(;y;y>>=1,x=1ll*x*x%P)
        if(y&1) ret=1ll*ret*x%P;
    return ret;
}
int rev[N];
void init(int n){
    for(int i=0;i<n;i++) rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?n>>1:0);
}
void ntt(int *f,int n,int flg){
    for(int i=0;i<n;i++)
        if(rev[i]<i) swap(f[i],f[rev[i]]);
    for(int k=1,len=2;len<=n;len<<=1,k<<=1){
        int wn=fpow(flg==1?gen:igen,(P-1)/len);
        for(int i=0;i<n;i+=len)
            for(int w=1,j=i;j<i+k;j++,w=1ll*w*wn%P){
                int tmp=1ll*w*f[j+k]%P;
                f[j+k]=sub(f[j],tmp),f[j]=add(f[j],tmp);
            }
    }
    if(flg==-1){
        int inv=fpow(n,P-2);
        for(int i=0;i<n;i++) f[i]=1ll*f[i]*inv%P;
    }
}
struct BigInt{
    static const int bas=100,basl=2;
    int a[N],len;
    int &operator [] (int k1){return a[k1];}
    BigInt(char *s){
        len=strlen(s); reverse(s,s+len);
        for(int i=0;i<len;i++) s[i]-=48;
        for(int i=0;i<len;i+=basl)
            a[i>>1]=s[i]+s[i+1]*10;
        maintain();
    }
    BigInt(){memset(a,0,sizeof(a));len=0;}
    void maintain(){
        while(len&&!a[len-1])len--;
        while(a[len])a[len]+=a[len-1]/bas,a[len-1]%=bas,len++;
    }
    void mdf(){
        a[0]++; for(int i=0;i<len;i++) a[i+1]+=a[i]/bas,a[i]%=bas;
        maintain();
    }
    BigInt operator * (BigInt &k1){
        int n=len,m=k1.len; int limit=1;while(limit<=n+m-1)limit<<=1; init(limit);
        static int A[N],B[N];
        for(int i=0;i<limit;i++) A[i]=a[i],B[i]=k1[i];
        ntt(A,limit,1),ntt(B,limit,1);
        BigInt ans; ans.len=n+m;
        for(int i=0;i<limit;i++) ans[i]=1ll*A[i]*B[i]%P;
        ntt(ans.a,limit,-1);
        for(int i=0;i<ans.len;i++) ans[i+1]+=ans[i]/bas,ans[i]%=bas;
        ans.maintain();
        return ans;
    }
    BigInt operator /= (int q){
        int r=0;
        for(int i=len-1;i>=0;i--){
            int nw=r*100+a[i];
            a[i]=nw/q; r=nw%q;
        }
        maintain();
        return *this;
    }
    void print(){
        printf("%d",a[len-1]);
        for(int i=len-2;i>=0;i--) printf("%.02d",a[i]);
    }
}a[5],ans;
char s[1000010];
int main(){
    scanf("%s",s); a[1]=s;
    a[1].mdf();for(int i=2;i<=4;i++) a[i]=a[i-1],a[i].mdf();
    ans=a[1]*a[2]*a[3]*a[4];
    ans/=24;
    ans.print();
    return 0;
}