matlab中的卷积——filter，conv之间的区别

%Matlab提供了计算线性卷积和两个多项式相乘的函数conv，语法格式w=conv(u，v)，其中u和v分别是有限长度序列向量，w是u和v的卷积结果序列向量。 
%如果向量u和v的长度分别为N和M，则向量w的长度为N+M-1.如果向量u和v是两个多项式的系数，则w就是这两个多项式乘积的系数。 
x=ones(1,4);                                        %x(n)=R4(n) 
h=ones(1,4);                                        %h(n)=R4(n)                    
y=conv(x,h);                                        %y(n)=x(n) * h(n)

conv是做卷积，就是按照书上的做法，先翻转，在一步步平移，得出结果。对于两个长度分别为n,m的序列，卷积结果长度为m+n-1

filter是做滤波，其实原理跟卷积是想通的，只不过处理结果的方法不同，先看示例程序：

1. x=[1,2,3,4,5];
2. h=[1,1,1];
3. y1=conv(h,x)
4. y2=filter(h,1,x)
5. y3=filter(x,1,h)
6. y4=filter(x,1,[h,zeros(1,4)])

结果为：

1. y1 =
2. 1     3     6     9    12     9     5
3. y2 =
4. 1     3     6     9    12
5. y3 =
6. 1     3     6
7. y4 =
8. 1     3     6     9    12     9     5

现在对结果一一作出解释；

1.y1的确是严格按照卷积的数学表达式计算的，不解释。

在解释后面几条时，先说一下filter的用法：filter(B,A,X)，其中B，A组成一个差分方程，X是输入信号，例如：

filter([1,2],1,[1,2,3,4,5])实现  y[k]=x[k]+2*x[k-1]
咱们这里讨论的就是A=1的情况。有了基本说明，现在言归正传：

2.说明filter函数平移停滞在X的最后一个输入与滤波器的第一个系数对齐时。这里为

从

1. 1   1   1
2. 5   4   3   2   1
3. 输出1，到
4. 1   1   1
5. 5   4   3   2   1
6. 输出12

3.验证2的观点，这里为：

从

1. 1   2   3   4   5
2. 1   1   1
3. 输出1，到
4. 1   2   3   4   5
5. 1   1   1
6. 输出6

4.依然是验证2的观点，从

1. 1   2   3   4   5
2. 0   0   0   0   1   1   1   1
3. 输出1，到
4. 1   2   3   4   5
5. 0   0   0   0   1   1   1   1
6. 输出5

并且，第4种情况下，通过补0使得所有的1都移到了滤波器抽头的末尾，这个结果与卷积是相同的。

到这里，我想大家就明白了二者的区别和关系。

在MATLAB中，可以用函数y=filter(p,d,x)实现差分方程的仿真，也可以用函数 y=conv(x,h)计算卷积。

（1）即y=filter(p,d,x)用来实现差分方程，d表示差分方程输出y的系数，p表示输入x的系数，而x表示输入序列。输出结果长度数等于x的长度。

实现差分方程，先从简单的说起：
filter([1,2],1,[1,2,3,4,5])，实现y[k]=x[k]+2*x[k-1]
y[1]=x[1]+2*0=1    (x[1]之前状态都用0)
y[2]=x[2]+2*x[1]=2+2*1=4

（2）y=conv(x,h)是用来实现卷级的，对x序列和h序列进行卷积，输出的结果个数等于x的长度与h的长度之和减去1。

卷积公式：z(n)=x(n)*y(n)= ∫x(m)y(n-m)dm.

程序一：以下两个程序的结果一样

（1）h = [3 2 1 -2 1 0 -4 0 3]; % impulse response

x = [1 -2 3 -4 3 2 1]; % input sequence

y = conv(h,x);

n = 0:14;

subplot(2,1,1);

stem(n,y);

xlabel('Time index n'); ylabel('Amplitude');

title('Output Obtained by Convolution'); grid;

（2）x1 = [x zeros(1,8)];

y1 = filter(h,1,x1);

subplot(2,1,2);

stem(n,y1);

xlabel('Time index n'); ylabel('Amplitude');

title('Output Generated by Filtering'); grid;

程序二：filter和conv的不同

x=[1,2,3,4,5];
               h=[1,1,1];

y1=conv(h,x)
               y2=filter(h,1,x)
               y3=filter(x,1,h)

结果：y1 = 1     3     6     9    12     9     5

y2 = 1     3     6     9    12

‍              y3  = 1     3     6

可见：filter函数y(n)是从n=1开始，认为所有n<1都为0；而conv是从卷积公式计算，包括n<1部分。

因此filter 和conv 的结果长短不同

程序三：滤波后信号幅度的变化

num=100; %总共1000个数 
                x=rand(1,num); %生成0~1随机数序列 
                x(x>0.5)=1; 
                x(x<=0.5)=-1;
                h1=[0.2,0.5,1,0.5,0.2]; 
                h2=[0,0,1,0,0];
                y1=filter(h1,1,x);
                y2=filter(h2,1,x);
                n=0:99;
                subplot(2,1,1);
                stem(n,y1);
                subplot(2,1,2); 
                stem(n,y2);

MATLAB中提供了卷积运算的函数命令conv2，其语法格式为： 
C = conv2(A,B) 
C = conv2(A,B)返回矩阵A和B的二维卷积C。若A为ma×na的矩阵，B为mb×nb的矩阵，则C的大小为(ma+mb-1)×(na+nb-1)。 

例： 
A=magic(5) 
A = 
17 24 1 8 15 
23 5 7 14 16 
4 6 13 20 22 
10 12 19 21 3 
11 18 25 2 9 
>> B=[1 2 1 ;0 2 0;3 1 3] 
B = 
1 2 1 
0 2 0 
3 1 3 
>> C=conv2(A,B) 
C = 
17 58 66 34 32 38 15 
23 85 88 35 67 76 16 
55 149 117 163 159 135 67 
79 78 160 161 187 129 51 
23 82 153 199 205 108 75 
30 68 135 168 91 84 9 
33 65 126 85 104 15 27 
MATLAB图像处理工具箱提供了基于卷积的图象滤波函数filter2，filter2的语法格式为： 
Y = filter2(h,X) 
其中Y = filter2(h,X)返回图像X经算子h滤波后的结果，默认返回图像Y与输入图像X大小相同。例如： 
其实filter2和conv2是等价的。MATLAB在计算filter2时先将卷积核旋转180度，再调用conv2函数进行计算。 
Fspecial函数用于创建预定义的滤波算子，其语法格式为： 
h = fspecial(type) 
h = fspecial(type,parameters) 
参数type制定算子类型，parameters指定相应的参数，具体格式为： 
type='average'，为均值滤波，参数为n，代表模版尺寸，用向量表示，默认值为[3,3]。 
type= 'gaussian'，为高斯低通滤波器，参数有两个，n表示模版尺寸，默认值为[3,3]，sigma表示滤波器的标准差，单位为像素，默认值为0.5