Euler Sums系列(二)
\[\Large\sum_{n=0}^\infty \frac{H_{2n+1}}{(2n+1)^2}=\frac{21}{16}\zeta(3)\]
\(\Large\mathbf{Proof:}\)
Let \(\displaystyle S_1=\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n^2}\) and \(\displaystyle S_2 = \sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{H_n}{n^2}\). Then, our sum can be written as
\[\sum_{n=0}^\infty \frac{H_{2n+1}}{(2n+1)^2} = \frac{S_1+S_2}{2}\]
We need to find \(S_1\) and \(S_2\).
1. Calculation of \(S_1\)
Note that
\[\frac{1}{k^2}= \int_0^1\int_0^1 (xy)^{k-1}\mathrm{d}x\mathrm{d}y~,~\frac{1}{n}= \int_0^1 z^{n-1} \mathrm{d}z\]
With the help of these, \(S_1\) can be calculated.
\[\begin{align*}
S_1 &= \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}\sum_{n=1}^k \frac{1}{n}=\sum_{k=1}^\infty \sum_{n=1}^k \int_0^1\int_0^1 (xy)^{k-1}\mathrm dx \ \mathrm dy \int_0^1 z^{n-1} \mathrm dz \\ &= \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=n}^\infty \int_0^1\int_0^1 (xy)^{k-1}\mathrm dx \ \mathrm dy \int_0^1 z^{n-1} \mathrm dz = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \left( \sum_{n=1}^\infty \frac{(xy z)^{n-1}}{1-xy}\right)\mathrm dx \ \mathrm dy \ \mathrm dz \\
&= \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{(1-xy)(1-xyz)}\mathrm dx \ \mathrm dy \ \mathrm dz = \int_0^1 \int_0^1 \frac{\ln(1-xy)}{xy(xy-1)}\mathrm dx \ \mathrm dy \\
&=-\int_0^1 \int_0^1 \frac{\ln(1-xy)}{xy}\mathrm dx \mathrm dy -\int_0^1 \int_0^1 \frac{\ln(1-xy)}{1-xy}\mathrm dx \ \mathrm dy \\
&=-\int_0^1 \int_0^1 \frac{\ln(1-xy)}{xy}\mathrm dx \mathrm dy+\int_0^1 \frac{\ln^2(1-y)}{2y}\mathrm dy
\end{align*}\]
We have
\[\begin{align*}
\int_0^1 \int_0^1 \frac{\ln(1-xy)}{1-xy}\mathrm{d}x \ \mathrm{d}y &=- \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \int_0^1 \int_0^1 (xy)^{n-1}\mathrm{d}x \ \mathrm{d}y \\ &= -\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}=-\zeta(3)
\end{align*}\]
and
\[\int_0^1 \frac{\ln^2(1-y)}{2y}\mathrm{d}y = \zeta(3)\]
So
\[S_1 = 2\zeta(3)\]
2. Calculation of \(S_2\)
This can be done in the same way as the previous one. We will use
\[\dfrac{(-1)^{k-1}}{k^2} = \int_0^1 (-x)^{k-1} \mathrm{d}x \int_0^1 z^{k-1} \mathrm{d}z = (-1)^{k-1} \int_0^1 \int_0^1 (xz)^{k-1} \mathrm{d}x \mathrm{d}z\]
Proceeding like the previous one we have
\[\begin{align*}S_2 &=\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k+1}}{k^2} \sum_{n=1}^k \dfrac{1}{n} =\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=1}^k \int_0^1\int_0^1 (-1)^{k-1} (xz)^{k-1}\mathrm{d}x\mathrm{d}z \int_0^1 y^{n-1} \mathrm dy\\& = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-xyz)^{n-1}}{1+xz} \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \dfrac1{(1+xz)(1+xyz)} \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z\\& = \int_0^1 \int_0^1 \dfrac{\ln(1+xz)}{xz(1+xz)} \mathrm{d}x \mathrm{d}z = \int_0^1 \int_0^1 \dfrac{\ln(1+xz)}{xz} \mathrm{d}x \mathrm{d}z - \int_0^1 \int_0^1 \dfrac{\ln(1+xz)}{1+xz} \mathrm{d}x \mathrm{d}z\\& = \int_0^1 \int_0^1 \dfrac{\ln(1+xz)}{xz} \mathrm{d}x \mathrm{d}z- \int_0^1 \dfrac{\ln^2(1+z)}{2z} \mathrm{d}z\end{align*}\]
Here
\[\begin{align*}
\int_0^1 \int_0^1 \dfrac{\ln(1+xz)}{xz} \mathrm{d}x \mathrm{d}z &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \int_0^1 \int_0^1 (x z)^{n-1} \mathrm{d}x \mathrm{d} z \\ &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^3}=\frac{3}{4}\zeta(3)
\end{align*}\]
and
\[\int_0^1 \frac{\ln^2(1+z)}{2z}\mathrm{d}z = \frac{\zeta(3)}{8}\]
So
\[S_2 = \frac{5}{8}\zeta(3)\]
3. Final answer
\[\sum_{n=0}^\infty \frac{H_{2n+1}}{(2n+1)^2} = \frac{S_1+S_2}{2}= \frac{2\zeta(3)+\dfrac{5}{8}\zeta(3)}{2}=\Large\boxed{\color{blue}{\dfrac{21}{16}\zeta(3)}}\]
Note the identity
\[\psi(2n+2)+\gamma=H_{2n+1}\]
This gives us:
\[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\psi(2n+2)+\gamma}{(2n+1)^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\psi(2n+2)}{(2n+1)^{2}}+\gamma\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^{2}}\]
The rightmost sum is rather famous, and evaluates to \(\displaystyle \frac{\gamma{\pi}^{2}}{8}\).
The left sum with the digamma term evaluates to
\[\Large\color{DarkGreen}{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\psi(2n+2)}{(2n+1)^{2}}=\frac{21}{16}\zeta(3)-\frac{\gamma{\pi}^{2}}{8}}\]
Euler Sums系列(二)的更多相关文章
- Euler Sums系列(六)
\[\Large\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_{2n}}{n(6n+1)}\] \(\Large\mathbf{Solution:}\) Let \ ...
- Euler Sums系列(五)
\[\Large\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\widetilde{H_n}}{n^{3}}\] where \(\widetilde{H_n}\) ...
- Euler Sums系列(一)
\[\Large\sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_{n}}{2^nn^4}\] \(\Large\mathbf{Solution:}\) Let \[\mathcal{S}=\s ...
- Euler Sums系列(四)
\[\Large\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{H_n}{2n+1}=\mathbf{G}-\frac{\pi}{2}\ln(2)\] \(\ ...
- Euler Sums系列(三)
\[\Large\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(H_{n}^{(2)}\right)^{2}}{n^{2}}=\frac{19}{24}\zeta(6)+\zeta^{2 ...
- 前端构建大法 Gulp 系列 (二):为什么选择gulp
系列目录 前端构建大法 Gulp 系列 (一):为什么需要前端构建 前端构建大法 Gulp 系列 (二):为什么选择gulp 前端构建大法 Gulp 系列 (三):gulp的4个API 让你成为gul ...
- WPF入门教程系列二十三——DataGrid示例(三)
DataGrid的选择模式 默认情况下,DataGrid 的选择模式为“全行选择”,并且可以同时选择多行(如下图所示),我们可以通过SelectionMode 和SelectionUnit 属性来修改 ...
- Web 开发人员和设计师必读文章推荐【系列二十九】
<Web 前端开发精华文章推荐>2014年第8期(总第29期)和大家见面了.梦想天空博客关注 前端开发 技术,分享各类能够提升网站用户体验的优秀 jQuery 插件,展示前沿的 HTML5 ...
- Web 前端开发人员和设计师必读文章推荐【系列二十八】
<Web 前端开发精华文章推荐>2014年第7期(总第28期)和大家见面了.梦想天空博客关注 前端开发 技术,分享各类能够提升网站用户体验的优秀 jQuery 插件,展示前沿的 HTML5 ...
随机推荐
- awk从放弃到入门(3):awk变量
一.变量概述 对于awk来说"变量"又分为"内置变量" 和 "自定义变量" , "输入分隔符FS"和"输出分隔 ...
- 转:unittest的几种运行方式
#unittest-test.py import unittestfrom demo import RunMainimport HtmlTestRunner class TestMethod(unit ...
- linux下删除空行的几种方法
在查看linux下的配置文件时,为了便于一目了然的查看,经常会删除空行和#头的行.而linux在删除空行的方法很多,grep.sed.awk.tr等工具都能实现.现总结如下: 1.grep grep ...
- Java:不得不知的Object类
目录 一.equals 1.equals与==有啥区别? 2.equals方法的规范 3.instanceof 和getClass() 4.其他总结 二.hashCode 1.hashCode的规范 ...
- html中的路径详解
路径指文件存放的位置,在网页中利用路径可以引用文件,插入图像.视频等.表示路径的方法有两种:相对路径,绝对路径.以下讨论均是在HTML环境下进行. 相对路径 相对路径是指目标相对于当前文件的路径,网页 ...
- 实现手写体 mnist 数据集的识别任务
实现手写体 mnist 数据集的识别任务,共分为三个模块文件,分别是描述网络结构的前向传播过程文件(mnist_forward.py). 描述网络参数优化方法的反向传播 过 程 文件 ( mnist_ ...
- gbase安装教程
一.安装前的准备工作 1.对网卡进行配置 [root@gbase8a ~]#vi /etc/sysconfig/network-scripts/ifcfg-eth0 DEVICE=eth0 HWADD ...
- Docker - 容器的 连接 与 退出
概述 连接容器, 退出容器 命令 run exec attach 退出 选项 -i -t -d 1. docker run 概述 docker run 通常用来创建新容器 docker run 的 三 ...
- CRPR/CPPR
S CRPR clock reconvergence pessimism removal C CPPR clock path pessimism removal 剔除公共clock path上的悲 ...
- C# 篇基础知识9——特性、程序集和反射
特性(Attribute)是用于为程序元素添加额外信息的一种机制.比如记录文件修改时间或代码作者.提示某方法已经过期.描述如何序列化数据等等.方法.变量.属性.类.接口.结构体以及程序集等都是程序元素 ...